Читать онлайн «Классическая проблема моментов»

Н. И. АХИЕЗЕР КЛАССИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА, СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 19 6 1 АННОТАЦИЯ Проблема моментов связана с многими вопро- вопросами математического анализа и теории функций: квадратурными формулами, непрерывными дро- дробями, ортогональными полиномами, интерполя- интерполяционными задачами теории ункций комплекс- комплексного переменного, квазианалитическими клас- классами и абсолютно монотонными функциями, спектральной теорией операторов и мн. др. Настоящая книга предназначена широкому кру- кругу читателей, начиная со студентов старших курсов и аспирантов физико-математических спе- специальностей университетов и пединститутов, пре- преподавателям математических факультетов универ- университетов и пединститутов, а также научно-ис- научно-исследовательским работникам в области анализа, теории функции, теории вероятностей и др. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава I. Бесконечные якобиевы матрицы и принадле- принадлежащие им многочлены 9 § 1. Основные понятия 9 § 2. Свойства многочленов, связанных с якобиевой матрицей 18 § 3. Теоремы инвариантности и аналитичности ... . 25 § 4. Квадратурная формула. Непрерывные дроби ... 32 Дополненияи задачи 37 Глава II. Степенная проблема моментов 42 § 1. Критерий разрешимости 42 § 2. Изометрический оператор, порождаемый орто- ортогональными многочленами 48 § 3. Некоторые критерии полноты 58 § 4. Функция р (г), матрицы Неванлинны 66 § 5. Экстремальные свойства функций рп (г) и р (г) . . 79 § 6. Метод М. Рисса 89 Дополнения и задачи 103 Глава III. Теоретико-функциональные методы в про- проблеме моментов 115 § 1. Интерполяционная проблема теории аналитических функций 115 § 2. Сведение степенной проблемы моментов к некоторой проблеме теории функций 121 § 3. Алгорифм последовательных дробно-линейных пре- преобразований 128 § 4. Канонические решения неопределенной проблемы моментов Гамбургера 143 Дополнения и задачи 155 Глава IV. Включение степенной проблемы моментов в спектральную теорию операторов 172 § 1. Операторный подход к проблеме моментов ... . 172 § 2. Симметрические операторы, представимые при по- помощи ^-матриц 182 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Интегральное представление позитивного функцио- функционала 190 Дополнения и задачи . . . 201 Глава V. Тригонометрические и континуальные аналоги 220 § 1. Тригонометрическая проблема моментов 220 § 2. Ортогональные полиномы на окружности 224 § 3. Эрмитово-позитивные функции одного аргумента . . 235 § 4. Эрмитово-позитивные функции в многомерных про- пространствах 239 § 5. Абсолютно монотонные и экспоненциально выпук- выпуклые функции 250 Дополнения и задачи 262 Добавление. Непрерывные дроби Стилтьеса 287 Литература 299 Алфавитный указатель 308 ПРЕДИСЛОВИЕ Термин проблема моментов впервые встречается у Т. Стилтьеса в работе 1894—1895 гг. Однако одну важ- важную задачу, относящуюся к проблеме моментов, поставил и в частном случае решил еще в 1873 г.