Читать онлайн «Метод Зоммерфельда-Малюжинца в задачах дифракции»
Автор Бабич В.М.
МЕТОД ЗОММЕРФЕЛЬДА-МАЛЮЖИНЦА В
ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
В. М. Бабич, 1\/І. А. Лялинов, В. Э. Грикуров
Санкт-Петербургский государственный Университет, 2003 г.
Бабич Василий Михайлович, зав. лаб. математических проблем геофизики Санкт~
Петербургского отд. математического инст. им. В. А. Стеклова РАН
Лялинов Михаил Анатольевич, доцент каф. высшей математики и математической
физики физического фак. СПбГУ
Грикуров Валерий Эдуардович, доцент каф. высшей математики и магегиатической
физики физического фак. СПбГУ
Монография посвящена подробному изложению метода Зоммерфельда-Малзожиінца
решения задач дифракции в угловых областях; затрагиваются также некоторые связан-
ные с этими задачами математические вопросы. Предназначена для студентов старших
курсов, аспирантов и исследователей, интересующихся математической теорией дифрак-
ции и распространения волн. у " "
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Арнольд зоммвгфвїіьд
гвоРгий дАнилович мАлюжинвц
Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . - u - o - a o - - n o n o . . - a . o - a o
1 ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ
1. 1
1. 2
1. 3
1. 4
1. 5
1. 6
1. 7
2. 1
2. 2
2. 3
2. 4
2. 5
2. 6
2. 7
2. 8
3. 1
3. 2
3. 3
3. 4
4. 1
4. 2
4. 3
4. 4
4. 5
Об уравнении Гельмгольца и краевых условиях на сторонах клина . . . . . . Окрестность вершины и условия Мейкснера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ПгЪДЄІІИЄ плоской волны на клин
и геометро-онтическая часть решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Условия излучения и завершение постановки задачи . . . . . . . . . . . . . . EJII/III(:'I‘BeIIHO(3Tb решения задачи дифракции на импедансном клине . . . . . Единственность решения задачи дифракции на идеальном клине . . . . . . . Теорема единственности и принцип пнредельного поглощения . . . . . . . . .
ИНТЕГРАЛЫ ЗОММЕРФЕЛЬДА
Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O преобразовании Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Представление решений уравнения Гельмгольна интегралами . . . . . . . . . Теорема Малюжинца
Дальнейшие сведения о функции E(z, (р) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A(:mm1ToTnqe(:KnI?i анализ интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O падающей и поверхппосггньїх волнах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O поведении интегралов Зоммерфельда вблизи вершины
o o u o - - . o a . o - o o o - . - a o - o n u o a a . . a . n
- n - o o o o u u - .
ИДЕАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Краевые условия Дирихле
О поведении решения в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краевые условия Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задача о клине с излучающей гранью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- а o - ц - o u o е - o a ~ o - n - - . . - - - o - n - o
ИМПЕДАНСНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Уравнения Малюжинца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Общая теория уравнений Малюжинца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Функция Малюжигнца и ее основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение однородных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение неоднородных уравнений . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
10
12
14
15
17
19
23
23
24
25
27
30
32
34
35
37
37
38
45
48
2 Оглавление
4. 5. 1 Модифицированное преобразование Фурье и Ѕ-инггегралы . . . . . . . 60
4. 5. 2 Непосредственное использование Ѕ-интегралов . . . . . . . . . . . . . 61
4. 6 Решение функциональных уравнений в задаче Малюжинца . . . . . . . . . . 63
4. 7 Дальнее поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 КЛИН с тонким покрытием 67
5. 1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. 2 Построение точного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. 3 Дальнее поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. 3. 1 Неравномерная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. 3. 2 PaBHOMepHbIe формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Внешность клипа с полупрозрачным слоем 81
6. 1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6. 2 Редукция к уравнению второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. 3 Сведение к интегральному уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6. 4 PaBHOMepHafl acl/IMIITOTI/IKa дифракционного коэффициента . . . . . . . . . . 86
6. 4. 1 Вычисление полюсов и вычетов в них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. 4. 2 Равномерная но углу асимптотика дальнего поля . . . . . . . . . . . . 89
6. 5 Численная реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6. 5. 1 Вычисление спектральных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6. 5. 2 Пример расчета дальнего поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
ПРИЛОЖЕНИЯ І
І О методе перевала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
