Читать онлайн «Основы метода динамической регуляризации.»

4y(. 4. VA'-,,J v » •1" С/ . В*С Л О УДК 530. 145 ББК 22. 311 О60 Рецензенты: кафедра математической физики ВМК МГУ, проф. М. С. Никольский, МИАН им. В. А. Стеклова Осипов Ю. С. , Васильев Ф. П. , Потапов М. М. О60 Основы метода динамической регуляризации. - М. : Иэд-во МГУ. 1999. — 237 с. ISBN 5-211-04085-6 Книга написана на основе курса лекций, читаемого авторами на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. Впервые в учебной литературе излагаете* разработанный ЮС Осиповым и его учениками метод динамической регуляризации - метод решения неустойчивых обратных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и др. Для зам- кнутости изложения приведен вспомогательный материал из функционального анализа, необходимый для строгих математических постановок рп«'гматриваемых обратных задач и обоснования вопросов сходимости излагаемого метода. Для студентов и аспирантов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». УДК 530. 145 ББК 22. 311 ISBN 5-211-04085-6 0 ОсиповЮ. С , ВасильевФ. П. , Потапов М. М. , 1999г ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Список обозначений 8 Глава I. Методы регуляризации одной обратной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 15 §1. Постановка задачи 15 §2. Решение прямой задачи, его свойства 19 §3. Существование нормального решения обратной задачи 24 §4. Метод динамической регуляризации 26 §5. Метод статической регуляризации 35 §6. О задаче численнного дифференцирования 48 Глава II. Задача восстановления правой части параболического уравнения 52 §1. Постановка модельной задачи 52 §2. Операторное параболическое уравнение. Задача Коши. Примеры 54 §3. Существование и единственность решения задачи Коши для операторного параболического уравнения 71 §4. Метод динамической регуляризации 80 Глава III. Задача восстановления правой части гиперболического уравнения 87 §1. Постановка прямой задачи. Примеры 87 §2. Постановка обратной задачи. Метод динамической регуляризации 100 Глава IV. Вспомогательные сведения 108 §1. Пространства Соболева 108 §2. Энергетическое расширение неограниченного симметричного положительно определенного оператора... . 145 §3. Интеграл Бохнера 165 §4. Элементы теории распределений со значениями в гильбертовом пространстве 189 Заключительные замечания 216 Литература 222 Предметный указатель 235 Предисловие Настоящая книга представляет собой учебное пособие, написанное на основе курса лекций, читаемого авторами на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета для студентов, специализирующихся на кафедре оптимального управления. В ней излагается метод динамической регуляризации для решения некоторого класса обратных задач, связанных с динамическими системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями (системы с сосредоточенными параметрами) или уравнениями с частными производными (системы с распределенными параметрами). Под обратной задачей принято понимать задачу восстановления каких-либо характеристик динамической системы (коэффициентов, параметров, входящих в дифференциальные уравнения, в начальные или граничные условия) по информации о пространственных координатах, скорости или других количественных характеристиках траектории (решения) этой системы, поступающей в процессе специально организованных наблюдений (измерений).