Читать онлайн «Алгебраические группы и поля классов»

Ж. СЕРР АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ Перевод с французского И. В. ДОДГАЧЕВА Под редакцией С. П. ДЕМУШКИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" МОСКВА 1 » в 8 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Курс лекций, который читался Серром в Коллеж де Франс, посвящен изложению работ Розенлихта об обобщенных яко- биевых многообразиях, Ленга об абелевых расширениях полей алгебраических функций, а также Барсотти, Розенлихта и Серра о расширениях и когомологиях алгебраических групп. Для русского издания автором любезно были присланы некоторые замечания и дополнения. Они внесены в соответствующие места. Декабрь 1967 г, с. демушкин ГЛАВА I СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Этот курс посвящен изложению недавних работ Розен- лихта и Ленга. Начнем с краткого изложения результатов Розенлихта. 1. Обобщенные якобиевы многообразия Пусть X — проективная неприводимая алгебраическая кривая без особенностей, /: X —>■ G — рациональное отображение X в алгебраическую коммутативную группу О. Множество 5 точек кривой X, в которых / нерегулярно, есть конечное множество. Пусть D—дивизор, равный нулю на S (т. е. дивизор вида Z)=2rei^V где Pi£s)- Положим /(о)==2,1. /(Р. )ео. В случае когда О — абелево многообразие, S= 0 и f(D)=0 при D, равном дивизору (<р) рациональной функции ф на X; в этом случае f (D) зависит лишь от класса дивизора D относительно линейной эквивалентности. В общем случае приходится изменить понятие класса (так же как и в теории чисел для изучения разветвленных накрытий) следующим образом. Назовем модулем с носителем S функцию, ставящую в соответствие каждой точке Р, £ 5 целое число п( > 0. Пусть m — модуль с носителем 5, а ф — рациональная функция. Говорят, что ф „сравнима с 1 по модулю т", и пишут Ф=1 (mod m), если vt(l —Ф)>-«г для всех /, где vt обозначает нормирование, определенное точкой Pt. Поскольку п{ > 0, такая функция ф регулярна в точках Р; и принимает в них значение 1; таким образом, дивизор (ф) такой функции равен нулю на S. 8 Глава I Теорема 1. Для всякого рационального отображения f:X->G, регулярного вне S, существует модуль т с носителем S, такой, что /(D) = 0 для любого дивизора D —(ср), где cp=l(modm). (Доказательство см. в гл. III, § 2. ) Обратно, по заданному модулю m можно восстановить если не саму группу О, то по крайней мере „универсальную" группу для группы О. Теорема 2. Для всякого модуля т существуют алгебраическая коммутативная группа Jm и рациональное отображение fm:X->Jm, такие, что выполняется следующее свойство: для всякого рационального отображения f: X ~>0, удовлетворяющего условиям теоремы 1 относительно модуля т, существует (аффинный) рациональный гомоморфизм 9 : Ут -»0, определяемый единственным образом, такой, что /=0о/т. (Доказательство см. в гл. V, п. 9. ) Можно уточнить структуру Jm точно так же, как в случае обыкновенных якобиевых многообразий (получаемых, если положить щ=0). Для этого рассмотрим группу Ст классов дивизоров, равных нулю на S, по модулю дивизоров вида D = (ср), где ср= 1 (mod m); пусть Ст - подгруппа группы Ст классов дивизоров степени 0. Если обозначить через С0 группу классов (в обычном смысле) дивизоров нулевой степени, то получим сюръективный гомоморфизм Ст-^-С , Ядро Lm этого гомоморфизма состоит из классов Ст дивизоров вида (ср), где ср обратима во всех точках Р, £ S.