Читать онлайн «Математический сборник, т.24 (66) вып.2»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК НОВАЯ СЕРИЯ ТОМ ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ ВЫПУСК ВТОРОЙ Т. 24 (66): 2 МАРТ-АПРЕЛЬ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОСКВА 194 9 М. С. издается под редакцией: О. Ю. Шмидта, А. Ф. Берманта, при участии: П. С. Александрова, С. Н. Бернштейна, И. М. Виноградова, А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, Л. А. Люстерника, Б. И. Сегала, В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, В. В. Степанова. 1949 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 24 (66), N. 2 Векторные поля на многообразиях Л. С. Понтрягин (Москва) Введение Содержание настоящей работы уже было частично опубликовано мною в кратком изложении в ДАН [1]. Предлагаемая работа существенно опирается на мою предыдущую работу [2]. Изучение особенностей векторного поля, заданного на многообразии, было начато еще Пуанкаре в связи с теорией обыкновенных дифференциальйых'уравнений. Хопф (Н. Hopf, [3]) показал, что сумма индексов особенностей . векторного поля, заданного на многообразии, равна эйлеровой характеристике этого многообразия. Позже Штифель {Stiefel, [4]) изучил особенности системы векторных полей, заданных на многообразии, и показал, что особенности эти связаны с циклами, определяемыми самим многообразием. Точная формулировка проблемы следующая: Пусть Mk — ^-мерное дифференцируемое многообразие с непрерывно вращающейся касательной, расположенное в эвклидовом пространстве RkH размерности £ + /, />1. Говорят, что на Мк задано векторное поле ^(х), если каждой точке х € Mk отнесен вектор