Читать онлайн «Хаусдорфовые приближения»

БЫГАРСКА АШЗйК КА HA;ivIT3 Институт по математика с изчпслптелен център Благовест Се к доз хаусдобхш пкш^шзкй София • 1979 Издателство на Българската академия на наукпте БОЛГАРСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ БЛАГОВЕСТ СЕНДОВ ХАУСДОРфОВЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ СОФИЯ — 1979 ИЗДАТЕЛЬСТВО БОЛГАРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК о БАН, Институт по математика с изчислителея център 1979 Jusautor, Sofia ПРЕДИСЛОВИЕ Целью настоящей книги является изложение основных результатов теории приближения функций и точечных множеств на плоскости относительно хаусдорфова расстояния. До сих пор теория аппроксимаций относительно хаусдорфова расстояния развивалась преимущественно болгарскими математиками. Начало этим исследованиям положила совместная работа Б. И. Пенкова и Ел. Сендова по вычислению е-энтропии и е-емкости множества непрерывных функций метризованное хаусдорфовым расстоянием. Многочисленные работы по хаусдорфовым приближениям докладывались и обсуждались на семинаре по Теории аппроксимаций Единого центра по математике и механике Болгарской академии наук и Софийского университета им. Климента Охридского . Хочу поблагодарить моих коллег В. А. Попова, В. М. Веселино- ва, Т. П. Боянова, Б. Д. Боянова, А. С. Андреева, С. М. Маркова, П. П. Петрушева, В. Х. Христова, Г. Л. Илиева, Сп. Ташева и других участников нашего семинара по Теории аппроксимаций за обсуждение ряда проблем включенных в настоящей книге и за сделанные замечания по ознакомлению с рукописью. Наконец я очень благодарен Д. Вачову и В. Андрееву за неоценимую помощь при подготовке этой книги к изданию. Бл. Сендов София 12. 3. 1978 ВВЕДЕНИЕ Теория приближения является важной ветвью современной математики. Необходимость представления сложных математических объектов более простыми возникает как при рассмотрении чисто теоретических проблем математики, так и при конкретных методах вычисления. Теория приближений имеет особое значение не только как фундамент численного анализа, но также в математическом программировании, в теории управлений и в других разделах математики и ее применения. Теория приближения функций ведет свое начало от задачи П. Л. Чебышева о равномерном (чебышевском) приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом. Множество сд (непрерывных на отрезке а функций) метризуется равномерным (чебышев- ским) расстоянием R(f,g)=\\f-g\\k=nax{\f(x)-g(x)\ :xet} и как аппарат приближения используется подмножество я п ■=. сд, состоящее из алгебраических многочленов степени не выше п. Тогда близость между данной приближаемой функцией /ссд и приближающим ее многочленом Ре»п задается чебышевским расстоянием R(f,p> = 11/-р||л. Такой способ измерения расстояния между приближаемой и приближающей функциями очень удобен в ряде случаев, так как если 3(f. p)о существуют такое натуральное п и такой многочлен Ре#п* что ч R(f,P)