Читать онлайн «Поверхности функций комплексного переменного: Методические указания»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖВУЗОВСКОЕ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Поверхности функций комплексного переменного Методические указания Красноярск 2004  УДК 517. 2 Составители: Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Л. С. Титов Поверхности функций комплексного переменного: Метод. указания. Изд. 2-е, исправ. и доп. / Краснояр. гос. ун-т; Сост. : Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Л. С. Титов. Красноярск, 2004. 39 с. Печатается по решению редакционно-издательских советов Красноярского государственного университета и Сибирского государственного аэрокосмического университета. Предназначено для студентов специальности 010400 «Физика» физического факультета КГУ и МИФО. Издано при поддержке ФЦП «Интеграция», проект № Б0017 © Красноярский государственный университет, 2004. © Сибирский государственный аэрокосмический университет, 2004. © Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Л. С. Титов, 2004. 2  Введение В теории функций комплексного переменного ставится задача распространения на комплексную плоскость обычных функций вещественного переменного. При этом функции очень часто приобретают новые свойства – монотонные функции становятся периодическими, такие функции, как sin z, оказываются неограниченными и т. п. Поведение функций полностью можно описать аналитическими формулами, но не зря говорят, что "лучше один раз увидеть... " Поэтому для наглядности изображают функции как поверхности над комплексной плоскостью (x, y) – рисуют "рельефы" функций или поверхности модуля в пространстве (x, y, u) с уравнением u = |f(z)|. Такой метод изображения ввел Ф. Эмде. Приведем здесь поучительную цитату из предисловия Ф. Эмде 1933 года ко 2-му изданию его книги: "При этом представлении, примененном здесь впервые, функция показывается во всей полноте. В то время как прежде нужно было мысленно сочетать разрозненные и независимые свойства и особенности функции, теперь их удалось соединить в одно обозримое целое. К сожалению, время не позволило представить все функции таким образом. Остается еще многое сделать. Я надеюсь, что математические институты продолжат начатую работу. По существу это скорее дело учебников, чем таблиц функций. Если в каждом учебнике дифференциального исчисления поведение простых функций в действительной области иллюстрируется посредством кривых, то тем более это необходимо сделать для более сложных функций и функций в комплексной области". Спустя годы мы видим, насколько был прав Ф. Эмде. Такие рельефы сразу выявляют новые свойства элементарных функций; они незаменимы для представления поведения функций в окрестности особых точек.