Читать онлайн «Формула Тейлора и функциональные пространства»

ИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР новосибирский ордена трудового красного знамени государственный университет им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА С. К. ВОДОПЬЯНОВ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Учебное пособие НОВОСИБИРСК 1988 ББК BI6I. 55 : BI62 УДК 517. 51 : 517. 54 Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1988. 96 с. Круг вопросов, рассматриваемый в учебном пособии, тради- ционен для теории функциональных пространств - это граничные значения дифференцируемых функций, продолжение дифференцируемых функций за границу области определения, непрерывность и компактность операторов вложения, суперпозиция обобщенно-дифференцируемых функций. Основное внимание уделено описанию методов, необходимых для решения этих задач в нестандартных ситуациях. Так, изучение граничного поведения функций классов Соболева и Никольского на произвольной области естественно приводит к различным внутренним геометриям, представляющим удобные средства . для ее решения, а в задаче о суперпозиции функций классов Соболева . даже в самом простом случае с неизбежностью возникают новые классы отображений. Учебное пособие предназначено . для студентов старших курсов математических факультетов и аспирантов, специализирующихся в области теории функций и . дифференциальных уравнений. Рецензенты: д-р физ. -мат. наук М. Л. Аграновский, д-р физ. -мат. наук А. Г. Кусраев Печатается по решению редакционно-издательского совета НГУ для специальности 01. 01. CJ Новосибирский государственный университет, 1988 § I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВАМ В ОБЛАСТЯХ I. I. Мотивировки геометрических нормировок В предлагаемом вниманию читателя учебном пособии* изложены геометрические метода теории функциональных пространств, разработанные в последние годы. Рассматриваются в основном шкалы пространств Соболева и Никольского - Бесова. Содержательная часть пособия сосредоточена вокруг следующих задач. 1. Граничные значения . дифференцируемых функций, определенных на произвольной области евклидова пространства. 2. Продолжение . дифференцируемых функций за границу области определения. 3. Непрерывность и компактность операторов вложения. 4. Суперпозиция . дифференцируемых функций. Метод решения почти всех рассматриваемых задач основан на новых эквивалентных нормировках пространств . дифференцируемых функций в областях, в которые явным образом входят геометрические характеристики области определения. Геометрия области, на которой рассматривается пространство функций, определяется модулем непрерывности, задающим функциональное пространство. Идеология здесь такова, что с каждым функциональным пространством, заданным в области евклидова пространства, ассоциируется своя внутренняя метрика области, задаваемая специальным образом. Внутренняя геометрия области, определяя функциональное пространство, отражает суть дела в рассматриваемых задачах, предоставляя удобные средства . для их решения.