Читать онлайн «Выпуклые фигуры»

о чв к or к ■с в ы п уск 4 И. М. ЯГЛОМ и В. Г. БОЛТЯНСКИЙ ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ V» БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ВЫПУСК 4 И. М. ЯГЛОМ и В. Г. БОЛТЯНСКИЙ ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ БИБЛИОТЕКА НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 19 51 ЛЕНИНГРАД 11-3-1 Памяти ЛЬВА ГЕНРИХОВИЧА ШИИРЕЛЬМАНА, замечательного ученого, организатора школьного математического кружка при Московском университете СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Указания к пользованию книгой ... 10 Задачи § 1. Общие свойства выпуклых фигур 13 § 2. Теорема Хелли и ее приложении ... ... . . 30 § 3. Одно свойство непрерывных функций . , , , . 39 § 4. Сложение выпуклых фигур и кривых 51 § 5. Изопериметрическая задача 66 § 6. Разные задачи на максимум и минимум ... . . 75 § 7. Кривые постоянной ширины 90 § 8. Кривые, вращающиеся в равностороннем треугольнике (Д-кривые), и родственные им кривые . 106 Дополнение 1. Принцип предельной кривой 126 Дополнение 11. О понятиях выпуклой и невыпуклой ПРЕДИСЛОВИЕ Зта книга посвящена некоторым задачам из общей теории выпуклых тел (определение выпуклого тела см. в тексте, стр. 13 и 29). Созданная в конце прошлого века теория выпуклых тел в настоящее время является наукой, богатой общими методами и отдельными замечательными результатами. Она интенсивно разрабатывается и по настоящее время. Общее число печатающихся научных работ и книг, посвященных этому вопросу, настолько значительно, что в оглавлении современного реферативного математического журнала, излагающего все появляющиеся работы по математике, теория выпуклых тел стоит как самостоятельная математическая дисциплина наряду с небольшим числом других математических наук. Такая популярность теории выпуклых тел связана в первую очередь с важностью этой теории для геометрии, а также со значительными ее приложениями как к другим разделам математики (алгебра, теория чисел и др. ), так и к естествознанию (математическая кристаллография). Значение теории выпуклых тел особенно возросло после недавних замечательных работ ленинградского математика А. Д. Александрова, положившего ее в основу созданного им нового важного направления в наиболее значительной из современных геометрических наук — дифференциальной геометрии. Все вышесказанное уже полностью оправдывает появление популярных книг по теории выпуклых тел. Но есть еще одно обстоятельство, делающее такие книги особенно полезными. Теория выпуклых тел является единственным разделом современной математики, не использующим существенно в своем построении никаких частей так называемой «высшей математики». Методы этой теории очень красивы, остроумны и зачастую совсем не просты, но они, как правило, совершенно элементарны и могут быть объяснены школьникам стар- 6 ПРЕДИСЛОВИЕ шнх классов. Это связано со значительной »геометричностью» теории выпуклых тел: в противоположность другим разделам современной геометрии она не пользуется каким-либо аналитическим аппаратом, а базируется непосредственно на элементарно-геометрических представлениях.