Читать онлайн «Методы геометрической теории аналитических функций»

И. А. Александров МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Книга рекомендована 22Л 1. 2002 г. к изданию президиумом научно-методического Совета по математике и механике учебно- методического объединения по классическому университетскому образованию Томский государственный университет Томск-2001 УДК 51 ББК 22. 11 А 46 Александров И. А. А 46 Методы геометрической теории аналитических функций. Томск. : Томский государственный универнтет, 2001. 220 с. Излагаются основные методы геометрической теории функций комплексного переменного в тесной связи с результатами исследований экстремальных и геометрических задач. Исследуются взаимосвязи метода структурных формул, вариационных методов, метода параметрических представлений, метода площадей. Приводится решение проблемы коэффициентов для однолистных функций. Даётся вид экстремальных функций относительно весьма общих функционалов, заданных на классах аналитических функций. Все основные результаты приведены с полными доказательствами. Обширная библиография облегчает изучение затрагиваемых вопросов. Книга представляет несомненный интерес для специалистов по теории функций комплексного переменного» теории дифференциальных уравнений, вариационным методам и для математиков, работающих в смежных областях. Она доступна студентам университетов и очень полезна аспирантам. УДК 51 ББК 22. 11 Рецензенты: кафедра математического анализа, кафедра теории функций, кафедра общей математики Томского государственного университета ©И. А. Александров, 2001 Оглавление Предисловие 5 Глава 1. Однолистные функции 9 §1. Множества функций 9 §2. Общие свойства однолистных функций 17 §3. Однолистные конформные отображения 21 §4. Сходимость областей к ядру и равномерная сходимость функций 27 Литература к главе 1 34 Глава 2. Элементарные экстремальные свойства классов функций 35 §1. Класс С 35 §2. Классы 5 и Е 39 §3. Критерий Базилевича однолистности голоморфной в круге функции 51 §4. Граница выпуклости класса S 56 §5. Интегральные средние и общая оценка модулей коэффициентов 59 §6. Классы S*,S° 62 Литература к главе 2 . , 69 Глава 3. Вариационные формулы 71 §1. Вариационные формулы в классах функций, представимых с помощью интегралов Стилтьеса . . 71 §2. Применения к классам функций, голоморфных в круге 74 §3. Применения к классам функций, голоморфных в кольце 79 §4. Вариационные формулы в классе S 82 §5. Семейства функций, дифференцируемых по параметру 89 Литература к главе 3 98 Глава 4. Экстремальные задачи 100 §1. Об экстремальных функциях на классе G 101 §2. Граничные функции в классе 5* 106 §3. Граничные функции в классе S 111 §4. Области значений функционалов на классе S 120 Литература к главе 4 140 3 Глава 5. Метод продолжения по параметру 142 §1. Дифференцируемость по параметру 142 §2. Уравнения Лёвнера 147 §3. Уравнение Лёвнера с постоянной управляющей функцией 149 §4. Об одном случае интегрирования уравнения Лёвнера 152 §5. Экстремальные управляющие функции в теореме вращения 154 §6.