Читать онлайн «Многомерный математический анализ»

B. C. Климов Многомерный математический анализ Часть I [ f(y)dy = J f[il>{x)]\debil/{x)\dx 9 Е Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им» П. Г. Демидова B. C. Климов Многомерный математический анализ Часть I Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальностям Математика и Прикладная математика и информатика •&■ ьу>>: i * > ка '154281" I v,. , ! 3 з Ярославль 2009 УДК 517 ББК В16я73 К 49 Рекомендовано Редакционно-издагпелъским советом университета в качестве учебного издания. План 2009 года Рецензенты: кафедра прикладной математики и вычислительной техники ЯГТУ; доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа ЯГПУ Е. И. Смирнов Климов, B. C. Многомерный математический анализ. Ч. 1 : учеб. по- К 49 собие / B. C. Климов ; Яросл. гос, ун-т. - Ярославль : ЯрГУ, 2009. - 128 с. ISBN 978-5-8397-0635-4 Пособие «Многомерный математический анализ» содержит следующие разделы дисциплины «Математический анализ»: многомерное дифференциальное исчисление, кратные интегралы, интегралы, зависящие от параметра, Предназначено для студентов университетов, обучающихся по специальности 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика (дисциплина «Математический анализ», блок ОПД), очной формы обучения. Большая часть пособия может быть полезной и для студентов педагогических университетов, обучающихся по специальности «Математика». УДК 517 ББК В16я73 © Ярославский государственный ISBN 978-5-8397-0635-4 университет им. П. Г. Демидова, 2009 Оглавление Предисловие 7 1 Многомерное Дифференциальное исчисление 9 1. 1 Дифференцируемые функции многих переменных 9 1. 1. 1 Конечномерное евклидово пространство 9 1. 1. 2 Дифференцируемость по Гато 10 1. 1. 3 Дифференцируемость по Фреше 11 1. 1. 4 Производная и градиент 13 1. 1. 5 Дифференцируемость суперпозиции функций 13 1. 1. 6 Формула конечных приращений 15 1. 1. 7 Неявные функции 16 1. 1. 8 Касательное множество . , 18 1. 2 Частные производные высших порядков 19 1. 2. 1 Определение частных производных высших порядков 19 1. 2. 2 Смешанные производные 20 1. 2. 3 Дифференциалы высших порядков 21 1. 2. 4 Формула Тейлора с остатком в форме Пеано 22 1. 2. 5 Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа 24 1. 2. 6 Выпуклые функции многих переменных 24 1. 3 Экстремальные задачи 28 1. 3. 1 Необходимые условия внутреннего локального экстремума 28 1. 3. 2 Достаточные условия внутреннего локального экстремума 29 1. 3. 3 Метод исключения в задачах на относительный экстремум ... . 31 1. 3. 4 Правило множителей Лагранжа 31 1. 3. 5 Обсуждение правила множителей Лагранжа 33 1. 4 Дифференцируемые отображения 35 1. 4. 1 Липшицевы отображения 35 1. 4. 2 Производные Гато и Фреше 37 1. 4. 3 Производная суперпозиции отображений 39 1. 4. 4 Производная обратного отображения 41 1. 4. 5 Формула конечных приращений 42 3 1. 5 Теоремы об обратном и неявном отображении 45 1. 5. 1 Принцип сжимающих отображений 45 1. 5. 2 Отображения, близкие к тождественному 46 1. 5. 3 Теорема о локальном обращении 48 1. 5. 4 Функциональная зависимость 49 1. 5. 5 Теорема о неявном отображении 50 2 Кратные интегралы 53 2. 1 Интеграл по брусу 53 2. 1. 1 Брус и его разбиения 53 2. 1. 2 Определение интеграла по брусу 54 2. 1. 3 Свойства интеграла Римана 55 2. 1. 4 Критерий Лебега интегрируемости по брусу 56 2. 1. 5 Кубируемые множества 57 2. 2 Ицтеграл по кубируемому множеству 58 2. 2. 1 Объём кубируемого множества 58 2. 2. 2 Изменение объёма при аффинном отображении 59 2. 2. 3 Определение интеграла по кубируемому множеству 62 2. 2. 4 Свойства интеграла по кубируемому множеству 63 2. 2. 5 Интеграл и суммы Дарбу для кубируемого множества 64 2. 3 Кратный и повторный интегралы 65 2. 3. 1 Теорема Фубини для прямоугольника 65 2. 3. 2 Случай произвольной квадрируемой фигуры 67 2. 3. 3 Многомерный вариант теоремы Фубини 69 2. 3. 4 Формула Кавальери 71 2. 3. 5 Объём n-мерного шара 72 2. 4 Аддитивные функции и интегралы 73 2. 4. 1 Плотность аддитивной функции 73 2. 4. 2 Леммы об аддитивных функциях 74 2. 4. 3 Вариант формулы Ньютона-Лейбница 76 2. 4. 4 Объёмы и диффеоморфизмы 77 2. 5 Замена переменных в кратных интегралах 79 2. 5. 1 Формулировка правила замены переменных 79 2. 5. 2 Доказательство правила замены переменных 80 2. 5. 3 Замена переменных в двойных интегралах 81 2. 5. 4 Цилиндрические и сферические координаты . . 82 2. 5. 5 Формула Каталана 84 2. 6 Кратные несобственные интегралы 86 2. 6. 1 Определение кратного несобственного интеграла 86 2. 6. 2 Интегралы от неотрицательных функций 87 2. 6. 3 Признаки сравнения 90 2. 6. 4 Замена переменной в несобственном интеграле 91 3 Интегралы, зависящие от параметра 95 3. 1 Собственные интегралы с параметром 95 3. 1. 1 Непрерывность и интегрируемость по параметру 95 3. 1. 2 Дифференцируемость по параметру 96 3. 1. 3 Интеграл по отрезку, зависящему от параметра 98 3. 1. 4 Лемма Лапласа для собственных интегралов 100 3. 1. 5 Кратные интегралы с параметром 103 3. 1. 6 Теорема Лиувилля 104 3. 2 Несобственные интегралы с параметром 107 3. 2. 1 Определение равномерной сходимости несобственных интегралов 107 3. 2. 2 Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов . . 108 3. 2. 3 Функциональные свойства несобственных интегралов ПО 3. 2. 4 Примеры на применение правила Лейбница 111 3. 2. 5 Интегралы Фруллани 114 3. 2. 6 Лемма Лапласа для несобственных интегралов 116 3. 3 Эйлеровы интегралы 117 3. 3. 1 Определение и дифференцируемость Г-функции 117 3. 3. 2 Свойства Г-функции 118 3. 3. 3 Формула Стерлинга 120 3. 3. 4 Бета-функция 121 3. 3. 5 Примеры 123 Литература 127 Предисловие Учебное пособие содержит изложение разделов математического анализа, изучаемых студентами второго курса университетов специальности 010200 Прикладная математика и информатика и 010100 Математика.