Читать онлайн «Числа и многочлены»

И. В. 11РОСКЯРМКО ι' Μ Л И. В. ПРОСКУРЯКОВ ЧИСЛА и МНОГОЧЛЕНЫ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА -1965 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Числа и многочлены, на первый взгляд столь различные между собойг имеют, однако, много общего. Для тех и других определены действия сложения, вычитания, умножения и деления, обладающие одними и теми же свойствами. Как те, так и другие являются частными случаями общего понятия кольца, являющегося одним из основных понятий современной алгебры. Поэтому становится возможным изучение чисел и многочленов в рамках одной общей теории. Это позволяет яснее видеть взаимосвязь и значение различных их свойств и устраняет многократное и утомительное повторение одних и тех же рассуждений при построении различных числовых областей и многочленов. Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды'два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную^роль. Книга рассчитана на преподавателей математики в старших классах средней школы, но не касается вопросов методики преподавания. Ее можно рекомендовать также студентам педагогических и учительских институтов, а также школьникам старших классов, интересующимся обоснованием понятий числа и многочлена. В первых двух главах вводятся общие понятия, необходимые для понимания всей книги. В последующих главах строятся натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, многочлены и алгебраические дроби. Эти главы можно читать в любом порядке,так как свойства чисел, которые там доказываются, известны из школы. Примеры, иллюстрирующие новые понятия, используют свойства чисел, доказательство которых часто дается лишь дальше, но которые читателю известны. При работе над книгой я использовал ряд ценных указаний С. А. Я нов- ской, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, А. Я. Хинчина и И. Р. Шафаревича. Всем им я выражаю свою сердечную благодарность. Москва, 25 октября 1948 г. И- Проскуряков 3 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ За пятнадцать лет, прошедших со времени первого издания, я получил ряд положительных отзывов об этой книге. Надеюсь, что она и в дальнейшем будет содействовать привлечению молодежи к работе в области математики. Настоящее издание выходит без существенных изменений. Добавлены лишь отдельные замечания и изменены ссылки на литературу в связи с выходом новых изданий указанных книг. Москва, 15 июня 1964 г. И, Проскуряков ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ Глава первая МНОЖЕСТВА § 1. Понятие о множестве Любая область математики изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их связи между собой.