Читать онлайн «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 90. Оптимальное управление-4»

ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ (ВИНИТИ) ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ СЕРИЯ СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Тематические обзоры Том 90 Научный редактор серии член-корреспондент РАН Р. В. Гамкрелидэе ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВ ЛЕНИЕ—4 Рецензент чл. -корр. РАН Р. В. Гамкрелидэе Введение 1. Предмет исследования и сводка основных результатов. Теория четтеринг режимов, т. е. режимов оптимального управления с бесконечным числом переключений на конечном интервале времени превращается в настоящее время в самостоятельное, активно развивающееся направление геометрической теории оптимального управления. Стандартный метод решения задач оптимального управления состоит в применении принципа максимума Понтрягина [25]. Пусть Н = Н(и,х,ф) — функция Понтрягина, зависящая от одномерного управления u€^CR, • - — I - дН X~W ^~~~дх~ — уравнения Гамильтона, х — совокупность переменных фазового пространства X, ф — сопряженные переменные, параметризующие слой в кокасательном расслоении Т*Х. Принцип максимума Понтрягина определяет управление и как функцию от х,ф следующим образом: и = argmax H(u, х, ф) иеи В задачах, аффинных по управлению, функция Гамильтона зависит аффинно от и, т. е. Н(и,х,ф) = На{х,ф)+иН\(х,ф). Часто возникает ситуация, когда на некоторой траектории x(t),if>(i) на некотором отрезке времени имеет место тождество Н\ = О, и принцип максимума не дает вообще никакой информации о значении управления и на этой траектории. Такие траектории x(t),tp(t) называются особыми и являются самостоятельным предметом исследования. В частности представляет интерес стыковка неособых траекторий с особыми. В некоторых случаях точка стыковки является точкой накопления переключений управления. Этот феномен известен под названием четтерин- га. Простейшим примером возникновения четтеринга является задача Фуллера [35]. Точка фазового пространства, в которой происходит накопление переключений, называется фуллеровской точкой. В работах [11], [49] была разработана теория строения синтеза оптимальных траекторий для задач с одномерным управлением в окрестности особых экстремалей второго порядка. В соответствии с этой теорией фазовое пространство расслаивается над многообразием особых траекторий на двумерные слои, в которых поле оптимальных траекторий эквивалентно полю оптимальных траекторий задачи Фуллера. Принцип максимума Понтрягина сводит задачу оптимального управления к исследованию гамильтоновых систем с тангенциальным разрывом — скачок вектора фазовой скорости лежит в касательной плоскости к поверхности разрыва. Решение таких систем методом интегрирования от терминального многообразия встречает принципиальные трудности при прохождении траектории через фуллеровскую точку, так как в такой точке не существует интервала времени, на котором правая часть дифференциальных уравнений оставалась бы непрерывной. Для преодоления этой трудности в работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [11], [49] была разработана техника разрешения особенностей отображения Пуанкаре поверхности переключения на себя в окрестности фуллеровской точки.