Читать онлайн «Теория функций и функциональный анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ и ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Часть вторая. Функциональный анализ В. М. Фёдоров Москва 2000 год УДК 517. 5 ФОО Федоров В, М. Теория функций и функциональный анализ. Часть вторая. Функциональный анализ. Учебное пособие. — Издательство механико-математического факультета МГУ, Москва, 2000 г. — 192 стр. Данная книга содержит расширенный курс лекций по теории функций и функциональному анализу, читаемый в пятом и шестом семестрах на отделении механики механико-математического факультета МГУ под названием "Функциональный анализ". Она включает также ряд теоретических вопросов курса "Приложения функционального анализа", читаемого для студентов пятого курса отделения математики. Книга состоит из трех глав: "Основы анализа", "Мера и интеграл" и "Функциональный анализ". Первые две главы входят в первую часть книги, а третья глава входит во вторую часть книги. Учебник предназначен для студентов и аспирантов математических специальностей университетов. Книга написана при поддержке РФФИ, грант №97-01-00010. ф 16Ш°77(озЬоо01 Без объявления. ISBN 5-87597-016-2 Механико-математический факультет МГУ, 2000 г. Оглавление Предисловие 9 1 Основы анализа 11 1. 1 Теория множеств 11 1. 1. 1 Множества и отношения 11 1. 1. 2 Аксиомы теории множеств 13 1. 1. 3 Операции с множествами 15 1. 1. 4 Отображения и функции 17 1. 1. 5 Отношение эквивалентности 19 1. 1. 6 Отношение порядка 21 1. 1. 7 Принцип максимальности 22 1. 1. 8 Аксиома и теорема выбора 24 1. 1. 9 Кардинальные числа 25 1. 1. 10 Отношения кардинальных чисел 26 1. 2 Метрические пространства 29 1. 2. 1 Понятие метрики 29 1. 2. 2 Сходящиеся последовательности 30 1. 2. 3 Топология метрических пространств 31 1. 2. 4 Отделимость замкнутых множеств 32 1. 2. 5 Теорема о продолжении функций 34 1. 2. 6 Теорема Кантора 35 1. 2. 7 Теорема Бэра 36 1. 2. 8 Категории множеств 37 1. 2. 9 Борелевы множества 39 1. 3 Пространства отображений 41 1. 3. 1 Принцип сжимающих отображений 41 1. 3. 2 Непрерывные и открытые отображения ... 43 3 Оглавление 1. 3. 3 Ограниченные отображения 45 1. 3. 4 Иэометричные отображения 47 1. 3. 5 Пополнение метрических пространств ... . 47 1. 3. 6 Отображения первого класса Бэра 48 1. 3. 7 Отображения первого класса Бореля 51 1. 4 Компактные множества 53 1. 4. 1 Относительная компактность множеств ... 53 1. 4. 2 Критерий компактности Хаусдорфа 54 1. 4. 3 Теорема о конечном покрытии 56 1. 4. 4 Непрерывные отображения компактов ... . 58 1. 4. 5 Критерий компактности в B(X,Y) 59 1. 4. 6 Критерий компактности в С(К,У) 61 1. 4. 7 Понятие е -энтропии компакта 63 1. 5 Пространства сходимости 66 1. 5. 1 Понятие сходимости 66 1. 5. 2 Топологические пространства 67 1. 5. 3 Топологическая сходимость 71 1. 5. 4 Топология пространств сходимости 73 1. 5. 5 Непрерывные отображения 75 1. 5. 6 Топология поточечной сходимости 77 2 Мера и интеграл 79 2. 1 Системы множеств 79 2. 1. 1 Операции в кольце множеств 79 2. 1. 2 Минимальное кольцо множеств 81 2. 1. 3 Минимальное <г-кольцо множеств 83 2. 1. 4 Произведение систем множеств 85 2. 1. 5 Расширение множества чисел 86 2. 2 Теория меры 88 2. 2. 1 Функции множеств и мера 88 2. 2. 2 Основные свойства мер 90 2. 2. 3 Конструкция мер по Каратеодори 92 2. 2. 4 Измеримые множества 93 2. 2. 5 Теорема о продолжении меры 95 2. 2. 6 Признаки измеримости множеств 96 2. 2. 7 Регулярные меры 98 2. 2. 8 Объем в метрическом пространстве 100 2. 3 Измеримые функции 103 4 Оглавление 2. 3. 1 Понятие измеримой функции 103 2. 3. 2 Свойства измеримых функций 105 2. 3. 3 Аппроксимация простыми функциями ... . 106 2. 3. 4 Сходимость почти всюду 108 2. 3. 5 Теорема Егорова ПО 2. 3. 6 Сходимость по мере 111 2. 3. 7 С-свойство Лузина 112 2. 4 Теория интеграла 115 2. 4. 1 Интеграл ограниченной функции 115 2. 4. 2 Свойства интегрируемых функций 117 2. 4. 3 Интеграл неограниченной функции 118 2. 4. 4 Счетная аддитивность интеграла 120 2. 4. 5 Теорема о монотонной сходимости 122 2. 4. 6 Лемма Фату 123 2. 4. 7 Свойства суммируемых функций 123 2. 4. 8 Предельный переход под интегралом 125 2. 4. 9 Интеграл комплекснозначной функции ... . 126 2. 5 Аддитивные функции множеств . . 128 2. 5. 1 Вариация аддитивных функций 128 2. 5. 2 Разложение Жордана 129 2. 5. 3 Регулярные функции множеств 131 2. 5. 4 Интеграл Радона 132 2. 5. 5 Разложение Хана 134 2. 5. 6 Непрерывные функции множеств 135 2. 5. 7 Сингулярные функции множеств 137 2. 5. 8 Разложение Лебега 138 2. 5. 9 Преобразование интеграла Радона 141 2. 6 Мера и интеграл на прямой 144 2. 6. 1 Мера и интеграл Лебега-Стилтьеса 144 2. 6. 2 Преобразование меры Лебега-Стилтьеса . . . 146 2. 6. 3 Интеграл Дарбу-Стилтьеса 148 2. 6. 4 Интеграл Римана-Стилтьеса 151 2. 6. 5 Функции множеств и функции точек 154 2. 6. 6 Функции ограниченной вариации 155 2. 6. 7 Характеристика борелевских зарядов 157 2. 6. 8 Формула интегрирования по частям 160 2. 7 Повторные интегралы 163 5 Оглавление 2. 7. 1 Сечение множеств и след функции 163 2. 7.

2 Произведение мер 164 2. 7. 3 Теорема о повторных интегралах 165 2. 7. 4 Вычисление мер при помощи сечений 167 2. 7. 5 Теорема Фубини 168 2. 7. 6 Неравенства Гельдера и Минковского 169 2. 7. 7 Мера и интеграл Лебега вГ 172 2. 7. 8 Геометрический смысл интеграла 174 3 Функциональный анализ 9 3. 1 Линейные пространства 9 3. 1. 1 Понятие линейного пространства 9 3. 1. 2 Линейная зависимость и независимость ... 11 3. 1. 3 Линейная размерность 12 3. 1. 4 Выпуклые множества 13 3. 1. 5 Отделимость выпуклых множеств 15 3. 1. 6 Нормы, полунормы и квазинормы 18 3. 1. 7 Топологические свойства норм 20 3. 1. 8 Нормированные факторпространства 23 3. 2 Линейные функционалы 25 3. 2. 1 Сопряженное пространство 25 3. 2. 2 Ограниченные функционалы 27 3. 2. 3 Геометрический смысл функционала 28 3. 2. 4 Теорема Хана-Банаха 30 3. 2. 5 Минимальные продолжения 31 3. 2. 6 Проблема единственности продолжения ... 33 3. 2. 7 Принцип равномерной ограниченности ... . 35 3. 2. 8 Слабая сходимость функционалов 36 3. 3 Абстрактный анализ 39 3. 3. 1 Признаки сходимости рядов 39 3. 3. 2 Суммируемые системы векторов 40 3. 3. 3 Пространство линейчатых функций 43 3. 3. 4 Абстрактный интеграл Колмогорова 45 3. 3. 5 Дифференцируемые функции 48 3. 3. 6 Абстрактные голоморфные функции 50 3. 3. 7 Формула Коши и теорема Лиувилля 52 3. 3. 8 Теорема Стоуна об аппроксимации 54 3. 4 Специальные пространства 58 6 Оглавление 3. 4. 1 Пространства tp(IyX) при 0 < р ^ со . . . . 58 3. 4. 2 Пространство M(#,E,/i) 60 3. 4. 3 Пространство £oo(2?,E,/i) 62 3. 4. 4 Пространства LP(E, E,/i) при 0 < р < со . . 64 3. 4. 5 Двойственность £(#, E,/i) и Ьоо(Е,E,/i) . . 66 3. 4. 6 Двойственность Ьр(ЕуТ,,ц) и £9(2?yE,/i) . . 68 3. 4. 7 Двойственность В(£*,Е) и Ьа(£,Е) 70 3. 4. 8 Двойственность L^E, E,/i) и 6a(i?, E,/i) 71 3. 4. 9 Двойственность Cb(XtF) и rba(X,F) ... . 73 3. 5 Евклидовы пространства 76 3. 5. 1 Квадратичные и эрмитовы формы 76 3. 5. 2 Минимальные квадратичные формы 78 3. 5. 3 Теорема Джона 80 3. 5. 4 Ортогональные разложения 81 3. 5. 5 Сопряженное пространство 83 3. 5. 6 Ортонормированные системы 84 3. 5. 7 Теорема Стеклова 86 3. 5. 8 Изоморфизм Н-пространств 87 3. 5. 9 Полнота тригонометрической системы ... . 88 3. 6 Теория двойственности 91 3. 6. 1 Второе сопряженное пространство 91 3. 6. 2 Теорема о слабой рефлексивности 92 3. 6. 3 Соотношения двойственности 94 3. 6. 4 Полные системы и аннуляторы 95 3. 6. 5 Двойственность факторпространств 97 3. 6. 6 Линейные пространства сходимости 99 3. 6. 7 Теорема о слабой полноте 101 3. 6. 8 Принцип равномерной сходимости 103 3. 6. 9 Слабо компактные множества 104 3. 7 Линейные операторы 107 3. 7. 1 Ограниченные операторы 107 3. 7. 2 Сильная сходимость 109 3. 7. 3 Теорема о замкнутом графике 111 3. 7. 4 Теорема об открытом отображении 113 3. 7. 5 Сопряженные операторы 115 3. 7. 6 Эрмитовы операторы 116 3. 7. 7 Компактные операторы 118 7 Оглавление 3. 7. 8 Проекторы 119 3. 7. 9 Ортопроекторы 121 3. 8 Спектральная теория 123 3. 8. 1 Спектр и резольвента 123 3. 8. 2 Граница спектра и спектральный радиус . . . 125 3. 8. 3 Спектр сопряженного оператора 127 3. 8. 4 Операторное исчисление 128 3. 8. 5 Отображение и разложение спектра 130 3. 8. 6 Спектр компактного оператора 132 3. 8. 7 Теорема Гильберта-Шмидта 134 3. 8. 8 Спектр эрмитова оператора 136 3. 8. 9 Разложение единицы 137 3. 8. 10 Спектральная теорема 140 3. 9 Обобщенные функции 144 3. 9. 1 Гладкие функции 144 3. 9. 2 Усреднение функций по Соболеву 146 3. 9. 3 Пространство основных функций 148 3. 9. 4 Пространство обобщенных функций 150 3. 9. 5 Носитель обобщенной функции 152 3. 9. 6 Структура обобщенных функций 154 3. 9. 7 Пространства Соболева 156 3. 9. 8 Обобщенные производные 158 ЗЛО Преобразования Фурье 162 3. 10. 1 Формулы умножения и свертки 162 3. 10. 2 Интеграл Фурье 165 3. 10. 3 Теорема Планшереля 167 3. 10. 4 Пространство Шварца 169 3. 10. 5 Обобщенные функции медленного роста . . . 172 3. 10. 6 Обобщенное преобразуование Фурье 174 3. 10. 7 Оператор свертки в L2(IRn) 176 3. 10. 8 Оператор свертки в L(Mn) 178 8 Глава 3 Функциональный анализ 3. 1 Линейные пространства Многие конкретные задачи анализа касаются не отдельных объектов типа функция, мера, оператор, а обширных их классов или пространств.