Читать онлайн «Частотные конфигурации и их применение»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПРОБЛЕМЕ "КИБЕРНЕТИКА" Е. В. Маркова, Л. Н. Ежова ЧАСТОТНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 0> п Москва 1979 00 АННОТАЦИЯ Данная работа посвящена частотным конфигурациям (квадратам и прямоугольникам) и их применению в планировании эксперимента. Дается систематическое изложение концепции F - квадратов и приводятся разработки авторов, которые относятся к следующим вопросам. В комбинаторном аспекте рассмотрено построение, классификация частотных прямоугольников и возможность их ортогонального наложения. Уделено внимание отношению F - конфигураций к другим математическим объектам ( блок схемам и обобщенным схемам Юдена). С позиции планирования эксперимента исследованы свойства планов, основанных на частотных квадратах и прямоугольниках, и дана интерпретация этих свойств в терминах матрицы Точера. Описана схема статистического анализа. Рассмотрено построение сложных многофакторных планов с использованием F - конфигураций, прямоугольников Юде- на и факторных планов пр В заключении обсуждается вопрос о принятии решений при выборе частотных квэдратов и прямоугольников для плана эксперимента в условиях различной значимости уровней факторов, при иерархической структуре неоднородно- стей и при последовательном увеличении числа факторов и/или их уровней* Приведены конкретные примеры. i I. ВВЕДЕНИЕ Для различных комбинаторных конфигураций характерным условием является требование, чтобы элементы, их пары и некоторые комбинации появлялись определенное число раз. Так в ггх 7Г латинском квадрате кавдый из тг элементов встречается по одному разу в каждой строке и в каждом столбце. Обобщением понятия латинского квадрата является частотный квадрат ( или F - квадрат)*, в котором каждый элемент появляется определенное число раз в каждой строке и в каждом столбце* Если латинские квадраты весьма популярны и уже около 200 лет привлекают пристальное внимание математиков, то этого нелься сказать об F -квадратах. Первые сведения о них относятся к 40-ым гг. и связаны с именем известного английского статистика Финни [I - 3] . Федерер рассматривал А1- квадраты в лекциях по статистике [Ч] . В 60-х гг. F - квадраты описал Фриман [sj и Аддельман [б] . Однако всех этих авторов F - квадраты занимали как некоторый побочный результат их общего интереса к планированию эксперимента. Основополагающие теоретические исследования F - квадратов принадлежат Хедайату, Сейдену и Рагхаварао [7,8] . Они описали свойства F - квадратов, предложили методы их построения, исследовали множества взаимно ортогональных F -квадратов и определили, при каком условии это множество может быть трансформировано в ортогональную таблицу, структура которой полезна для факторного эксперимента. Связь F - квадратов с частично сбалансированными неполными блок-схемами рассматривалась Агравэллом и Синглом [9]. , Мисрой и Чандаком [ю] . Цель настоящей работы состоит в систематическом изложении концепции F -квадратов на основе всех перечисленных выше разрозненных английских публикаций и в дальнейшем расширении Р - квадрат - сокращенное написание от frequency souaze 1-2 >4~ этой концепции на прямоугольники и схемы с двумя множествами элементов* В комбинаторном аспекте авторами рассмотрен вопрос о построении и классификации частотных прямоугольников; установлена связь этих конфигураций с полными блок-схемами; проведено исследование упаковочных структур, на основе которых могут быть построены ортогональные наложения латинских и частотных прямоугольников* Уделено внимание отношению F - квадратов к блок-схемам и обобщенным схемам Юдена.