Читать онлайн «Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР В. А. ВАСИЛЕНКО СПЛАЙН-ФУНКЦИИ: ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРОГРАММЫ Ответственный редактор акад. Г. И. М а р ч у к ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Новосибирск • 1983 УДК 519. 6 Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, ритмы, программы. — Новосибирск: Наука, 1983. Излагаются основы вариационной теории сплайн-функ ций. Наряду с теоретическими вопросами, касающимися существования, единственности, сходимости решений задач сплайн-приближений в функциональных пространствах, подробно рассматриваются наиболее важные сплайновые конструкции с точки зрения практического построения, выводятся п анализируются расчетные формулы, обсуждаются вопросы организации вычислений и программ. Описывается программный комплекс, реализующий большинство рассмотренных алгоритмов, приводятся тексты программ и тестовые таблицы. Для научных работников и инженеров, применяющих методы сплайнов. Ил. 14. Табл. 49. Библиогр. 63. В ^щщ!™ 142 - 83 - II © Издательство «Наук* ПРЕДИСЛОВИЕ Необходимость приближенного представления функций при решении конкретных задач — проблема, хорошо знакомая каждому математику или инженеру, работающему в области приложений. Она возникает обычпо по двум причинам. Первая предполагает наличие аналитического, но трудновычислимого объекта, который следует заменить более простым, быть может проиграв при этом в точности, но выиграв в экономичности. Вторая причина состоит в том, что исходные данные дискретны, а задача может требовать некоторого функционального представления кривой или поверхности. Классический аппарат решения таких задач — теория полиномиальных и дробно-рациональных приближений, развитая в работах К. Вейерштрасса, П. Л. Чебышева> С. Н. Бернштейна и др. Однако аппарат полиномиальных приближений мало пригоден для аппроксимации функций с конечной, притом небольшой, гладкостью, такие объекты чаще всего встречаются в приложениях. Это обстоятельство и привело к необходимости введения сплайнов. Первые сплайн-функции, предложенные И. Шёнбергом (1946), были «склеены» из кусков кубических многочленов. В дальнейшем эта конструкция модифицировалась, повышалась степень многочленов, изменялись краевые условия, но идея оставалась неизменной. Следующий существенный шаг в теории сплайнов — обнаруженное Дж. Холлидеем (Д957) свойство, связавшее кубические сплайны Шёнберга с решением вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала потенцильной энергии жзгибания упругого стержня. Это обстоятельство вызвало значительный интерес, и в течение последующих лет появилось большое число работ, где в зависимости от конкретных требований модифицировался вариационный энергетический функционал—ведь каждой физической задаче присущи своиэнер- 3 гетические принципы, свой функционал потенциальной энергии, минимум которого обеспечивает наиболее разумное решение задачи аппроксимации. С течением времени от решения задач интерполяции, когда в узлах сетки заданы значения сплайна, исследователи стали переходить к решению задач, где в узлах задавались производные (эрмитовы сплайн-аппроксимации) и сложные дифференциальные выражения (коллокационные методы).