Читать онлайн «Знаковый статистический анализ линейных моделей»

М. В. БОЛДИН, Г. И. СИМОНОВА Ю. Н. ТЮРИН ЗНАКОВЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРЕДИСЛОВИЕ Для непараметрической статистики последние полвека были временем зарождения ранговых методов, их бурного развития, достижения ими зрелости и обретения широкой известности. Ранговый подход в статистике состоит в замене элементов выборки их рангами и в дальнейшем анализе этих рангов, а не самих исходных наблюдений. Для статистических моделей, более сложных, чем выборка, рангами заменяют видимые остатки. Лет десять назад мы начали изучать возможности, которые открывает для непараметрического анализа аналогичный переход от наблюдений или остатков к их знакам. Некоторые знаковые правила были известны издавна. Вспомним хотя бы критерий знаков. Мы развивали этот подход в наших теоретических статьях и практических исследованиях. Когда же все мы (авторы этой книги) собрались в Московском университете и когда наши исследования получили поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, мы решили изложить эту тему систематически. Так появилась эта книга. Знаковый метод исходит из предположения, что случайные ошибки могут быть положительными или отрицательными с равными вероятностями. При этом условии знаковые выводы оказываются свободными от распределения. Как дополнительное достоинство следует отметить, что эти выводы проявляют высокую устойчивость при отступлении от модельных предположений. Например, по отношению даже к значительной доле грубых ошибок. Может показаться удивительным, но относительная асимптотическая эффективность знаковых правил оказывается довольно высокой, несмотря на явную потерю информации, которая происходит при замене чисел их знаками. Наибольшее внимание мы уделили малым выборкам. При этом мы стремились к точным (не асимптотическим) результатам: точным уровням значимости при проверке гипотез, точным доверительным вероятностям при доверительном оценивании. Отметим, что необходимые вычислительные процедуры оказались достаточно простыми и быстрыми, чтобы их можно было провести на рядовых компьютерах. Мы даже разработали для этих целей пакет прикладных программ. С его помощью и сделаны вычисления в тех примерах, которые рассмотрены в книге. Мы исследовали также асимптотические свойства знаковых правил, когда число наблюдений неограниченно растет. Асимптотическое исследование знаковых процедур сводится к исследованию случайных процессов (и полей) типа эмпирических и взвешенных эмпирических, но построенных по видимым остаткам. Технически эти параграфы в книге наиболее сложные. Знаковые правила, представленные в книге, образуют непараметрическую схему обработки данных, с помощью которой можно решать основные статистические задачи: проверку гипотез (в том числе линейных), вычисление точечных оценок и построение доверительных множеств для неизвестных параметров. По своим возможностям и кругу доступных им задач знаковые методы оказываются вполне сопоставимы с ранговыми. Мы развиваем знаковые методы применительно к линейным моделям.