Читать онлайн «n-угольники»

ТБАХМАН ^ % Э. ШМИДТ - > й-ЕСКЕ von FRIEDRICH BACHMANN Dr. Phil. , O. Professor an der University Kiel und ECKART SCHMIDT Studlenassessor, Kiel fclBLIOGRAPHISCHES 1NST1TUT MANNHElM/WlEN/Zt)RlCH Hochschultaschenbucher-Verlag 1970 «СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА» Популярная серия Ф. БАХМАН, Э. ШМИДТ //-угольники Перевод с немецкого Л, И* Сироты Под редакцией И* М. Яглома ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1973 УДК 512:513. 19 В этой книге на вполне элементарном материале, начинающемся с простейших геометрических истин (середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма и т. д. ), развита весьма изящная теория, устанавливающая зачастую совершенно неожиданные связи между геометрией и важными концепциями и понятиями современной алгебры. Большое достоинство книги — сопровождающие изложение задачи, которые позволяют читателю все время контролировать степень овладения материалом. Книга рассчитана на любителей математики самых разных категорий, начиная от старшеклассников, интересующихся этой наукой (например, учащихся школ с математической специализацией). Редакция литературы по математическим наукам Б041(01)-73 ОТ РЕДАКТОРА Имя первого из авторов — профессора университета в Киле Фридриха Бахмана — знакомо советскому читателю по переводу его обстоятельной монографии, в которой излагаются развиваемые кильской школой идеи в области оснований (евклидовой и неевклидовой) геометрии1). Настоящая книга носит совсем другой характер. Она начинается с достаточно поверхностной (и широко известной) теоремы* середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (У авторов вершины четырехугольника могут принадлежать любому — конечномерному или бесконечномерному — векторному пространству, построенному над почти любым полем; читателю, однако, мы рекомендуем рассматривать построения авторов на обычной плоскости или в трехмерном пространстве. ) С этого простого предложения начинает раскручиваться цепь теорем—и как далеко эта цепь ведет! Вначале каждому «-угольнику сопоставляются три других я-угольника: вершинами одного из них являются середины сторон исходного я-угольника (отображение0); вершинами второго—точки пересечения медиан (центры тяжести) треугольников, образованных тройками соседних вершин исходногоя-угольника (отображение*); вершинами третьего—четвертые вершины параллелограммов, построенных на трех соседних вершинах исходного я-угольника (отображение'). Эти «циклические операции» отображают множество всех я-угольников в себя, но, вообще говоря, не на себя: «полное» множество всех/ьугольников они могут 1) Ф. Бахман, Построение геометрии на основе понятия симметрии, «Наука», М. , 19G9. 6 ОТ РЕДАКТОРА перевести в его подмножество, в определенный «циклический класс» /г-угольннков. Так, отображение0 переводит множество всех 4-уголь- ников в класс параллелограммов; три отображения0, • и ', взятые в любом порядке, «сжимают» множество всех 6-уголь- ников в класс шестикратных точек (6-угольников i4141i41i41i41/l1), как видно из следующей «коммутативной диаграммы»: Далее понятия циклической операции (отображающей множество всех /z-угольников в себя) и циклического класса /z-угольников обобщаются; рассматриваются всевозможные циклические классы /z-угольников — цепочка таких классов ведет от множества всех я-угольников к «нулевому классу», содержащему единственный (вырож- ОТ РЕДАКТОРА 7 денный!) я-угольник, все вершины которого совпадают с началом координат.