Читать онлайн «Методы решения операторных уравнений»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Институт математики и механики В. П. TAHAHA МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА . 1981 УДК 517. 94 Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М. : Наука, 1981. 156 с. В книге излагаются методы решения некорректных задач. Исследуются регуляризуемость операторных уравнений с приближенно заданным оператором и способы выбора параметра регуляризации, вопросы оптимальности методов и наиболее полного учета априорной информации при построении регуляризованных решенип, оценки погрешности методов и конечномерные методы отыскания регуляризованных решений. Книга предназначена для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, интересующихся методами решения некорректных задач. Ил. 2, библиогр. 144 назв. Ответственный редактор кандидат физико-математических наук Ю. А. ШАШКИН Т /ТгНТТТоГоГ 81-26. 1702050000 © Издательство «Наука», 1981 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга посвящена решению операторных уравнений Au=ff где и, f — искомый и данный элементы некоторых метрических пространств U и F соответственно, а А — заданный оператор, действующий из U в F, в предположении, что исходные данные задачи {4, /} известны нам лишь приближенно. В начале XX в. французский математик Адамар сформулировал условия корректности [138], которые для выписанного операторного уравнения формулируются в следующем виде: 1) для любого / £ F существует элемент и £ U такой, что Au=f (существование); 2) элементом / решение и определяется однозначно (единственность); 3) имеет место непрерывная зависимость и от f (устойчивость). Под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно понимаются задачи, в которых не выполнено третье условие корректности. Долгое время считали, что подобные задачи не имеют практического значения. Однако в шестидесятых годах появилось большое число практически важных задач, не удовлетворяющих третьему условию корректности, которые привлекли к теории некорректных задач внимание многих математиков. В настоящей работе излагаются некоторые вопросы теории некорректных задач, не охваченные монографиями [130] и [47] и исследованные автором в период с 1973 по 1978 г. Результаты других математиков привлекаются лишь в той степени, в какой они связаны с излагаемым материалом. В книге проведено полное исследование методов решения линейных операторных уравнений с точки зрения их устойчивости относительно возмущений исходной информации. Кроме того, введено понятие оптимальности метода применительно к решению уравнения Au—f с приближенно заданным оператором и проведен анализ существующих методов с точки зрения их оптимальности. Получены точные по порядку оценки погрешности этих методов. Указаны некоторые пути использования дополнительной информации и построения на ее основе оптимальных (в новом смысле) решений. Исследованы вопросы регуляризуемости операторных уравнений с ошибкой в операторе, а также предложены и исследованы некоторые общие схемы конечномерной аппроксимации 3 I* регуляризованных решений, которые имеют большое значение при численной реализации методов.