Читать онлайн «Записки по геометрии и топологии векторных пространств. Учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ ЗАПИСКИ ПО ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Учебное пособие щ и & НОВОСИБИРСК 1982 ББК В 162 УДК 513,88 С. С. Кутателадзе Записки по геометрии l топологии векторных пространств. Учебное пособив. НГУ, 1982,1-84. В учебном пособии дается компактное изложение вопросов геометрии и топологии векторных пространств, необходимых в функциональном анализе. Особое внимание уделено аналитическому аппарату исследования множеств в векторных пространствах и топологии муль- «нормированных пространств. CJ Новосибирский государственный университет , 1982 Глава I ЭКСКУРС В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ I. I. Соответствие I. I. I. Определение, Пусть Л,б - множества д Fa A xB # Тогда F называют соответствием с областью отправления А и областью прибытия В , 1Д. 2. Определение, Пусть F^A *В - соответствие. Множество cfomF: »D(FJ: = {ae/4 : 5f ^ei5 (a,76)tFJ называют областью определения F . Множество imF: =K(F):~(eeB:3cueA (Q/y6)tF} называют областью значений, или образом F . I. I. 3. Примеры . (1) Пусть F<^A*B - соответствие. Тогда - соответствие из В в А , называемое обратным соответствием к F , (2) Соответствие F<= А*А называют отношением в А • (3) Соответствие Fa Ах в называют однозначным, если для всякого *М из условий (с,б^бр и (cufez)(:F следует, что ^я 6Z . Соответствие Fc л * з называют отображением И в В , если domF~A и F - однозначно. В частности, если 17= Д и 1^ : - {(со,си) : aeU} , то 1у - однозначное соответствие, называемое тождественным отношением на 17 • Соответствие lv является отображением только при А = "I/ . В этом случае 1^ называют тождественным отображением. Для отображения F<^ A * в используют запись F • А-*- В . Стоит подчеркнуть, что эта запись подразумевает, что с/от F = А и в то же время im F не обязательно совпадает с В . (4) Другим названием отображений являются семейства. Точнее говоря, отображение F--A-+B часто называют семейством элементов В и записывают в виде ( 6^ jcueA или сон-^ё(Ь(аеА) . При 3 атом имеется в виду, что (ау76)е F в том и только" в том случае, если 8 = £а/ • (5) Пусть F*=A * В - соответствие, а V - подмножество в А . Соответствие FnU*3^17*8 называют сужением F на V и обозначают F/x; . Образ i™(F\v) обозначают FGJ) и называют образом множества 17 при соответствии F . Используют естественные сокращенные обозначения. Так, если F - отображение, для элемента л€А пишут F(a) = 6 , имея в ввду, что F({a})={t>} . Скобки в зашей F(a) иногда опускают или замешзют скобками другого начертания. 1. 1. 4. Определение, Пусть F<= A * В i 6<=CxD - соответствия. Множество называют композицией (или суперпозицией) соответствий G и F „ 1. 1. 5. Замечание, Б определении композиции соответствий можно считать, что множества В и С совпадают, 1. 1. 6. Бели F - соответствие, то F° F~d=> iimf * При эток F- F'1*!- т в том и только в том случае', если F\^omf^ отображение, а 1. 1. 7. Пусть F<=A*B 9 G~B*C и v^A . Тогда G° F(U) = G(F(U)). в 1. 1. 8. Пусть F^a*B9 &<= в*с , Н^С*Э . Тогда 1. 1. 9. Замечание. В силу свойства I. I. 8, которое называют ассоциативностью композиции, разумно определен символ H°g°f и ему подобные символы. 1. 1. 10. Пусть F, G, и - три соответствия.