Читать онлайн «Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ В. И. Бердышев, Л. В. Петрак АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЖАТИЕ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИЛОЖЕНИЯ ЕКАТЕРИНБУРГ, 1999 Издание осуществлено при поддержке УДК 518. 5 Р rf6 И Российского фонда фундаментальных исследований яо проекту 99-01-14047 Бердышев В. И. , Петрак Л. В. Аппроксимация функций, сжатие чи- численной информации, приложения. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. ISBN 5-7691-0927-0 В монографии изложены современные методы сжатия и восстановле- восстановления численной информации: аппроксимация полиномами, рациональны- рациональными дробями, экспонентами, сплайнами, всплесками (вейвелет-функциями), фрактальными методами. Эффективность приведенных методов демон- демонстрируется на ряде прикладных задач: навигация автономно движущих- движущихся аппаратов, неразрушающий контроль, реография поджелудочной же- железы, тепло-массообмен, конструирование гибридных зеркальных антенн, аппроксимация атмосферных характеристик и др. Книга рассчитана на специалистов различных областей знаний, применяющих в своих исследо- исследованиях математику, а также на студентов математических специальностей с прикладным уклоном. Ответственный редактор — д. ф. -м. н. Ю. Н. Субботин ISBN 5-7691-0927-0 Посвящается памяти профессора Стечкина Сергея Борисовича ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 9 I АППРОКСИМАТИВНЫЕ МЕТОДЫ СЖАТИЯ И ВОС- ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ 11 1. Предмет теории аппроксимации 11 1. 1. Классы задач 11 1. 2. Классы приближающих функций 13 1. 3. О выборе нормы 15 1. 4. Задача о наилучшем приближении 18 1. 5. Полная погрешность решения задачи приближения . 19 1. 6. Проблематика 21 2. Приближение в нормированных пространствах 22 2. 1. Существование элемента наилучшего приближения . 23 2. 2. О единственности элемента наилучшего приближения 25 2. 3. Непрерывность метрической проекции 28 2. 4. О характеризации элемента наилучшего приближе- приближения и алгоритме его построения 33 3. Наилучшее приближение в пространстве со скалярным про- произведением 35 3. 1. Определения 35 3. 2. Характеризация и устойчивость элемента наилучше- наилучшего приближения 36 3. 3. Построение элемента наилучшего приближения ... 38 3. 4. Оценка погрешности приближения 42 3. 5. Классические ортонормированные системы 47 3. 6. Кратко о всплесках 51 3. 7. О вычислении коэффициентов Фурье 52 3. 8. О фильтрации сигналов. Основные понятия 54 4. Характеризация полинома наилучшего приближения в La ■ 56 5. Наилучшее приближение полиномами в пространстве непре- непрерывных функций 58 5. 1. О единственности полинома наилучшего приближения 58 5. 2. Характеризация полинома наилучшего приближения 61 Оглавление 5. 3. Сильная единственность полинома наилучшего при- приближения 65 6. Аппроксимация полиномами в метрике, связанной с задачей навигации , 67 7. Наилучшее приближение рациональными дробями в про- пространстве С[а, Ь] 73 7. 1. Существование наилучшей дроби 73 7. 2. Характеризация наилучшей дроби 75 8. Алгоритмы полиномиальной аппроксимации в равномерной метрике 77 8. 1.