Читать онлайн «Экстремальные задачи. Пособие для учащихся.»

Э. С. Беляева, В. М. Монахов Экстремальные задачи (пособие для учащихся VIII—X классов) МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1977 Беляева Э. С. , Монахов В. М. Экстремальные задачи. Пособие для учащихся. М. , «Пррсвещение», 1977. 64 с. Книга предназначена/ для учащихся 8—10 классов, интересующиеся математикой. ОНа содержит задачи на нахождение экстремальных зна¬ чений величин; знакомит читателя с методом отыскания оптимальных решений практических задач, решение которых сводится к определе¬ нию наибольшего яли наименьшего значения линейной целевой функ¬ ции. 60601—489 Б ■ — 220-^77 613 103 (03)—77 © Издательство «Просвещение», 1977 г. ВВЕДЕНИЕ С незапамятных времен перед человеком возникают практиче¬ ские проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и. наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достиже¬ ние некоторого результата может быть осуществлено не. единствен¬ ным способом н приходится отыскивать наилучший способ достиже¬ ния результата. Однако в одной в той же задаче в разных ситуациях наилучши¬ ми могут быть совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должны быть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зави¬ симости от того, для каких целей предназначается судно. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерий мо¬ гут быть следующими: 1) необходимо, чтобы судно при движении испытывало в воде наименьшее сопротивление (это главный критерий быстроходного судна); 2) необходимо, чтобы судно было максимально устойчивым при сильном волнении и сильном ветре; 3) необходимо, чтобы судно имело наименьшую осадку (в слу¬ чае, если судно предназначается для эксплуатации на мелких во¬ доемах). Задачи такого характера, получившие название экстремальных задач, возникают в самых различных областях человеческой дея¬ тельности. В настоящем пособии вы познакомитесь с некоторыми этапами истории зарождения теории экстремальных значений вели¬ чин, получивших в дальнейшем развитие и обобщение. Содер¬ жание рассматриваемых в пособии задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Однако общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного математического метода. Дело в том, что по самой своей природе математические методы не могут прилагаться не¬ посредственно к действительности, а применяются только к ма¬ тематическим моделям того или иного явления. Что же такое ма¬ тематическая модель? В простейших случаях условие задачи сразу переводится на ма¬ тематический язык (например, условие записывается в виде уравне¬ ния или неравенства), и мы получаем математическую формулиров¬ ку задачи, т. е. ее математическую модель. Математическая модель только тогда имеет практическое значение, когда она достаточно хорошо отображает основные свойства и определенные характери¬ стики исследуемого реального явления. Математическая модель экстремальных задач имеет свою особен¬ ность: в ее состав всегда входит некоторая функция, называемая целевой функцией, которую требуется при заданных условиях мини¬ мизировать (максимизировать), т.