Читать онлайн «Устойчивость разностных схем»

Α. Α. САМАРСКИЙ, А. В. ГУЛИН УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ш ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» . ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1973 6Ί8' С 17 УДК 517. 949Л Устойчивость разностных схем. А. А. С а м а р ский, А. В. Гулин, Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», М. , 1973. В книге излагается теория устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в гильбертовом пространстве. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных и трехслойных разностных схем общего вида и рассмотрены многочисленные приложения теории к конкретным разностным схемам, аппроксимирующим задачи математической физики. Книга рассчитана на специалистов в области вычислительной математики, аспирантов и студентов физико-математических факультетов. Библ. 295 названий, © Издательство «Наука», 1973. r 0224—I838 ^ 042(02)-73 ό ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие б Основные обозначения, принятые в книге 9 Введение 11 Глава I. Разностные схемы 18 § 1. Примеры разностных аппроксимаций 18 1. Обозначения (18). 2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражений (19). 3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка (21). 4. Случай цилиндрических и сферических координат (24). 5. Краевая задача для уравнения четвертого порядка (26). § 2. Свойства некоторых разностных операторов - 29 1. Линейные операторы в нормированных пространствах (29). 2. Операторы в гильбертовом пространстве (30). 3. Некоторые разностные тождества и неравенства (34). 4. Оператор второй разностной производной (37). 5. Третья краевая задача (40). 6. Разностные операторы первого порядка (42). 7. Разностные операторы четвертого порядка (47). 8. Случай комплексных пространств сеточных функций (51). 9. Функции разностных операторов (53). § 3. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем 61 1. Устойчивость и сходимость стационарных задач (61). 2. Случай неравномерной сетки (65). 3. Разностные схемы для уравнения переноса (67). 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности (72). 5. Метод энергетических неравенств (74). 6. Примеры трехслойных разностных схем (78). 7 УраваеИие колебании стержня (81). 8. Нестационарное уравнение Шредиигера (84). Глава II. Устойчивость двухслойных разностных схем 87 § 1. Устойчивость по начальным данным и по правой части ... 87 1. Общие понятия (87). 2. Канонические формы двухслойных и трехслойных разностных^-схем (89). 3. Устойчивость двухслойной схемы (91). 4. Устойчиваехь подначальным данным и по правой части (93). 5. Связь между устойчдавстЫо по начальным данным и устойчивостью по правой части (95). § 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным 98 1. Операторные неравенства (98). 2. Оценки норм операторов в гильбертовом пространстве (101). 3. Необходимые и достаточные условия 4 ОГЛАВЛЕНИЕ устойчивости разностных схем в действительном гильбертовом пространстве (103). 4. Случай несамосопряжеиных операторов (107). 5. Метод энергетических неравенств (109). 6.