Читать онлайн «Знакомство с высшей математикой, Книга 4. Дифференциальные уравнения и их приложения»

Л. С. ПОНТРЯГИН ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЁСКОД ЛИТЕРАТУРЫ 1988 ББК 22. 161. 1 П56 УДК 517. 9(023) Понтрягин Л. С. П56 Знакомство с высшей математикой: Дифференциальные уравнения и их приложения. — М. ; Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1988. — 208 с. ISBN 5-02-013732-4 Четвертая (последняя) книга из серии небольших научно-популярных книг «Знакомство с высшей математикой», В ней изложение теории дифференциальных уравнений проведено с упором на линейные уравнения с постоянными Коэффициентами, с применением этих уравнений к теории электрических цепей. Рассмотрены также автономные системы, положение равновесия в них и предельные циклы с применением к теории регулирования и работе лампового генератора. Для школьников старших классов, интересующихся математикой, и студентов младших курсов вузов. Может быть полезна преподавателям средней и высшей школы. © Издательство «Наука». Главная редакция ISBN 5-02-013732-4 ^ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 1. Введение 7 § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка . . 7 § 2. Формулировка общей теоремы существования и единственности 15 § 3. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной 18 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения . . . 26 § 4. Доказательство теоремы существования и единств венности для нормальной системы линейных дифференциальных уравнений 26 § 5. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений 32 § 6. Линейное уравнение я-го порядка 39 Глава 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 45 § 7. Комплексные дифференциальные уравнения ... 45 § 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) ... . 50 § 9. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) ... . 58 § 10. Устойчивые многочлены 66 § 11. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами • 72 § 12. Метод исключения 78 § 13. Метод комплексных амплитуд 86 § 14. Электрические цепи . 91 Глава 4. Устойчивость 112 § 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства 114 § 16. Теорема Ляпунова 135 1* 3 § 17. Предельные циклы i ... «•• 149 § 18. Критерий существования предельного цикла . . 155 § 19. Ламповый генератор 166 § 20, Центробежный регулятор {исследования Вышне- градского) 175 Краткое жизнеописание Л. С. Понтрягина, составленное им самим 183 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собою переработку моего учебника «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (5-е изд. —М. : Наука, 1982) в сторону сильного сокращения и упрощения. При этом сохранены все конкретные применения обыкновенных дифференциальных уравнений, данные в учебнике. Первое из приложений — электрические цепи — рассмотрено в § 14 главы 3. Даны законы Кирхгофа и правила прохождения электрического тока через простейшие двухполюсники: сопротивление, индуктивность, емкость. На этой основе рассмотрены приборы, имеющие практическое значение: трансформатор и фильтры частот.