Читать онлайн «Теория алгебр Ли. Топология групп Ли (Семинар ''Софус Ли'')»

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой перевод трудов семинара „Софус Ли", происходившего в Эколь Нормаль (Париж) в 1954/55 г. В отдельных главах излагаются доклады, сделанные на этом семинаре различными математиками. Однако несмотря на это, книга представляет собой единое целое. Значительную часть содержащихся в книге фактов можно найти лишь в разрозненных журнальных статьях. По ряду причин книга не может служить для первона- первоначального ознакомления с предметом. Так, предполагаются известными основы, а иногда и довольно глубокие результаты теории групп Ли (в русском издании соответствующие места снабжены необходимыми ссылками). Отличительной особен- особенностью книги является использование современной термино- терминологии и методов. Например, классические теоремы Леви — Мальцева и Г. Вейля доказываются на основе построенной в гл. 3 теории когомологий алгебр Ли. Авторы постоянно используют понятие модуля. В связи с тем, что это понятие мало употребительно в отечественной математической литературе, издательство сочло целесообраз- целесообразным снабдить перевод приложением, написанным переводчи- переводчиком и содержащим необходимые сведения по этому вопросу. При переводе и редактировании исправлены некоторые неточности и ошибки в доказательствах, в ряде мест сде- сделаны подстрочные примечания, написанные переводчиком и ре- редактором, расширен список литературы. ПРЕДИСЛОВИЕ Наш семинар, носящий славное имя Софуса Ли, к кото- которому мы могли бы, без сомнения, добавить имя Э. Картана, задался целью дать возможно более полное изложение теории алгебр Ли и топологии групп Ли. Мы хотели, к тому же, привести полные и как можно более элементарные доказа- доказательства, не предполагающие у читателя никаких знаний, кроме обычного багажа современного математика. Все необходимые сведения можно найти в книгах „Алгебра" и „Топология" Н. Бурбаки, а также в первом томе „Теории групп Ли" К. Шевалле. До сих пор не существовало монографического изложения теории алгебр Ли, и мы хотели избавить читателя от необ- необходимости постоянно обращаться к диссертации Э. Картана. С другой стороны, желательно было дать новое изложение теории, использующее методы современной алгебры. Суще- Существенную часть последней задачи выполнили Р. Годеман и Н. Бурбаки. Они предоставили нам свои неопубликованные работы, за что мы их горячо благодарим. Наряду с класси- классическими трудами Э. Картана, Г. Вейля и работами упомяну- упомянутых выше двух авторов, мы пользовались некоторыми недав- недавними работами Хариш-Чандры и статьей Ивасавы из Annals of Mathematics за 1949 год. Многие вопросы мы не смогли рассмотреть из-за недо- недостатка места. Например, нам не удалось достаточно подробно остановиться на теории когомологий. Тем не менее мы на- надеемся, что наш труд будет полезен читателю. Авторы Глава 1 ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ - БИРКГОФА - ВИТТА П. Картье 1. Предварительные понятия Определение. Алгеброй Ли ® над коммутативным кольцом К с единицей называется унитарный К-модуль ©, снабженный билинейным отображением (х, у)->[х, у] прямого произведения © X © в ©.