Читать онлайн «Субдифференциальное исчисление»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ А. Г. КУСРАЕВ С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ Субдифференциальное ИСЧИСЛЕНИЕ Ответственный редактор акад. А. Д. Александров НОВОСИБИРСК ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1987 УДК 517. 98 Кусраев А. Г. , Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление. — Новосибирск: Наука, 1987. В монографии изложены важнейшие результаты нового раздела функционального анализа — субдифференциального исчисления. Изучаются способы построения выпуклых соответствий и операторов, проблемы продолжения отображений, принципы открытости соответствий и связанные с этим свойства выпуклых операторов. Выводятся основные правила вычисления субдифференциалов и преобразований Юнга — Фенхеля сложных отображений, детально описывается геометрическое строение субдифферепциалов. Широко представлен инструментарий субдифференциального исчисления: техника пространств Канторовича, метод двойственности, нестандартные методы математического анализа. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся аппаратом субдифференцирования и его приложениями. Рецензенты Ю. Г. Решетняк, А. М. Рубинов т, 1702050000-856 ёлп QFJ тлг К 042 (02)-87 116~87-IV © Издательство «Наука», 1987 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Предмет настоящей книги — субдифференциальное исчисление. Главный источник этого раздела функционального анализа — теория экстремальных задач. Поясним происхождение и постановку основных проблем субдифференциального исчисления. Для этого рассмотрим абстрактную задачу минимизации в виде х^Х, f(x)-*- inf. Здесь X — некоторое векторное пространство, а /: X -* R — числовая функция, принимающая, быть может, бесконечные значения. Как обычно, в подобных обстоятельствах нас интересуют величина inf /(X) — значение задачи и ее решения или оптимальные планы, иначе говоря, те х<^Х, для которых f{x)=* = inf f(X) (если они существуют). Решить задачу «в явном виде», т. е. предъявить значение и решение, удается крайне редко. В этой связи возникает необходимость упрощения исходной задачи, ее редукции к более обозримым модификациям, формулируемым с учетом деталей строения целевой функции /. Обычная гипотеза, принимаемая при поиске теоретических подходов к искомой редукции, состоит в следующем. Вводя дополнительную функцию Z, рассматривают задачу: яе=Х, /(х) -I (х) -* inf. При этом новая задача считается столь же сложной, как и исходная, при условии, что I — линейный функционал на X, т. е. элемент алгебраически сопряженного пространства X*. Иными словами, при анализе задачи минимизации функции / считают известным отображение /*: X* ->- R, определенное соотношением /* (Q:= sup ■ X — некоторый оператор, действующий из Y в X. Подчеркнем, что /* — это выпук- 3 лая функция переменной I. Уже это обстоятельство подсказывает, что наиболее полные результаты в избранном направлении следует ожидать в принципиальном случае выпуклости исходной функции /.