Читать онлайн «P-адический анализ и математическая физика»

В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов Р-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА М. : Физматлит, 1994. —352 с. Впервые в отечественной литературе излагаются результаты исследований по использованию р-адического анализа в теоретической и математической физике. Дается введение в теорию р-адических чисел и неархимедову геометрию, приводится большое число результатов по интегральному исчислению, теории обобщенных функций и псевдодифференциальных операторов над полем р- адических чисел. Излагаются элементы классической и квантовой механики над полем р-адических чисел, включая спектральную теорию квантового р-адического гармонического осциллятора. Описаны применения р-адического анализа к квантовой теории поля, теории струн, квантовым группам, теории случайных процессов. Для математиков и физиков-теоретиков—студентов старших курсов, аспирантов, преподавателей и научных работников. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 7 I. Анализ над полем/>-адических чисел 19 § 1. Поле /7-адических чисел 19 1. /7-адическая норма 19 2. /7-адические числа 21 3. Пространство /7-адических чисел Qp 23 4. Квадратичные расширения поля Qp 27 5. Полярные координаты и окружности в поле Qp(Vs) 30 6. Отображение Qp в R 31 7. Пространство Q° 34 § 2. Аналитические функции 35 1. Степенные ряды 35 2. Аналитические функции 37 3. Алгебра аналитических функций 39 4. Функции е*, ln(l+x), sin x, cos x 40 5. Теорема об обратной функции 46 § 3. Аддитивные и мультипликативные характеры 48 1 Аддитивные характеры поля Qp 48 2. Мультипликативные характеры поля Qp 52 3. Мультипликативные характеры поля Qp(Vs) 56 § 4. Интегрирование 57 1. Инвариантная мера в поле Qp 57 2. Замена переменных в интегралах 58 3. Примеры вычисления интегралов 61 4. Интегрирование в Q° 67 § 5. Гауссовы интегралы 74 1. Гауссовы интегралы по окружностям Sy 75 2. Гауссовы интегралы по кругам Ву 86 3. Гауссовы интегралы по Qp 88 4. Дальнейшие свойства функции XJa) 89 5. Пример 94 6. Исследование функции S(a,q) 99 § 6. Обобщенные функции 101 1. Локально постоянные функции 101 2. Основные функции, п= 1 103 3. Обобщенные функции, п= 1 106 4. Линейные операторы в ?>' 109 5. Основные и обобщенные -функции, п>\ 111 6. Прямое произведение обобщенных функций 112 7. Теорема о «ядре» 113 § 7. Свертка и преобразование Фурье 114 1. Свертка обобщенных функций 114 2. Преобразование Фурье основных функций 118 3. Преобразование Фурье обобщенных функций 126 4. Пространство L2 129 5. Умножение обобщенных функций 131 § 8. Однородные обобщенные функции 134 1. Однородные обобщенные функции 134 2. Преобразование Фурье однородных обобщенных функций и Г- 142 функция 3. Свертка однородных обобщенных функций и SB-функция 151 4. Однородные обобщенные функции многих переменных 155 II. Псевдодифференциальные операторы над полем/>-адических чисел 163 § 9. Оператор Z>« 163 1. Оператор Z>a, a ф -1 163 2. Оператор ZH 167 3 Уравнение Da\\f=g 173 4. Спектр оператора Z>a в Qp, a > 0 175 5. Ортонормированный базис собственных функций оператора Z>a 176 6. Разложения по собственным функциям 185 § 10.