Читать онлайн «Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 2»

Студенческие чтения МКНМУ Майлз Рид Кольца и алгебраические многообразия Лекция 19 февраля 1999 года Пусть k — алгебраически замкнутое поле (например, k = C). Мы будем рассматривать только кольца вида R = k[x\,... , xn]/l, где /— простой идеал. Иными словами, будем рассматривать конечнопорожденные алгебры без делителей нуля над алгебраически замкнутым полем. Кольцу R можно сопоставить его спектр Spec R—совокупность всех простых идеалов. В рассматриваемой ситуации простые идеалы — это то же самое, что максимальные идеалы. Спектр нас интересует не как множество, а как алгебраическое многообразие V в аффинном пространстве Аи (если k = С, то Ая = С). Алгебраическое многообразие V—совокупность всех точек пространства Ап, в которых обращаются в нуль все многочлены из идеала /. Отождествление SpecR и V соответствует выбору координат х\,... , хп. Наоборот, если задано алгебраическое многообразие V, то ему соответствует кольцо k[V]—кольцо полиномиальных функций на V; это кольцо совпадает с R. Любой математик слышал, что алгебраическое многообразие — это множество нулей каких-то полиномов. Здесь есть два подхода: 1) заданы уравнения и нужно выяснить, каково множество точек; 2) задан геометрический объект и его нужно задать как алгебраическое многообразие (погрузить в аффинное пространство и задать уравнениями). Пример. Пусть в аффинном пространстве С2 действует конечная группа линейных преобразований G с GL(2, С). На факторпространстве С2/0 мы хотим задать структуру алгебраического многообразия. Например, каково кольцо функций? Правдоподобный кандидат таков: в кольце многочленов k[x, у) возьмем кольцо инвариантных функций k[x,yf. Это кольцо имеет вид k[x,y]G — k{u\,... , ип}/1. Действительно, мы выбираем инвариантный многочлен и\, затем ич\ так делаем до тех пор, Майлз Рид (Miles Reid), профессор Уорикского университета (Великобритания). пока новых (независимых) многочленов больше не будет. Идеал / соответствует соотношениям между выбранными инвариантными многочленами. Если группа О порождена отображением х, у i-> —х, —у, то все инвариантные многочлены выражаются через х2 = и, ху = v, у2 = т. Эти многочлены связаны соотношением uw — v2. В результате возникает отображение С2 -у Q с С3, где Q — квадрика, заданная уравнением uw = v2. Это отображение отождествляет все точки каждой орбиты и ничего другого ие отождествляется. Этот пример можно обобщить. Пусть е = ехр(2тс//г). Рассмотрим группу, порожденную отображением х, у^гх, г~ху. В этом случае инвариантными многочленами будутxr=u, xy = v, yr = w. Они связаны соотношением uw = vr. В результате возникает отображение С2—> X с С3, где X задано уравнением uw = vr. Это уравнение задает особенность типа Лг_ь Можно также рассмотреть группу, порожденную отображением лс, у ь-> !-»гх, гАу, где е7 = 1. В этом случае инвариантными многочленами будут х7 = «1, лс4у = «2, ху2 = из, у7 = v. Связывающие их соотношения можно записать в виде rkf"1 U2 "3J < 1. Упражнение. Доказать, что указанные многочлены порождают все кольцо инвариантных многочленов, а указанные соотношения порождают весь идеал соотношений.