Читать онлайн «Ортогональные разложения и метод Фурье»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА В. М. Бабич, Н. С. Григорьева ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И МЕТОД ФУРЬЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ЛЕНИНГРАД ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1883 Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета УДК 517. 946. 9:(075. 8) Бабич В. М. , Григорьева Н. С. Ортогональные разложения и метод Фурье; Учеб. пособие. -Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 240 с. Ил. - 22, библиогр. - 27 назв. Учебное пособие посвящено рассмотрению метода Фурье решения задач математической физики и его основе - теории ортого— нальных разложений по собственным функциям дискретного и не- • прерывного спектров задачи Штурма-Лиувилля. Применение общей у схемы метода Фурье продемонстрировано на многих. интересных за-v дачах механики, теории упругости, гидродинамики. "^ Учебное пособие предназначено для студентов университетов (математиков, физиков, астрономов), а также для студентов втузов с углубленным изучением математики. Оно может быть полезно инженерам при решении многих практических задач. Рецензенты: проф. В. СБулдырев (Ленингр. ун-т),проф. А. А. По- тапенко (Северо-Западный заочный политех. ин-т), проф. Н. Н. Уральцева (Ленингр. ун-т) 1704020000 - 029 oT_g3 (г) Издательство Ленинградского 076(02) - 83 ^ университета, «эаз г. Предисловие Существует не так уж много методов получения решений задач математической физики в явном виде. Среди этих методов почетное место принадлежит методу Фурье, который основан на теоремах разложения по различным ортогональным системам функций. Проанализировав эти системы, можно убедиться, что среди них практически не встречаются ортогональные разложения, не являющиеся разложениями по собственным функциям задачи Штурма-Лиу- вилля или не представляющие собой аналоги таких разложений. Это относится как к задачам, связанным с дискретным спектром, так и к задачам, связанным с непрерывным спектром, что позволяет Iизлагать решение всех таких задач с единой точки зрения. ' Цель настоящей небольшой книги - дать для студента, изучающего математическую физику, или математика-прикладника достаточно простое и вместе с тем современное руководство по спо- зобу получения решений задач математической физики методом Фурье. Построение решений задач, связанных с дискретным спектром, проводится единым образом - где бы ни содержалась неоднородность: в начальных ли, краевых условиях или в правой части уравнения. Такой метод проведения метода Фурье (см. [6]) иногда называется интегральным цреобразованием в конечннх пределах. Решение задач с помощью интегральных преобразований (Фурье, Коиторовжча-Лебедева, Мелера-Фока и т. п. ) не отличается принципиально от решения по методу Фурье задач с дискретным спектром. Здесь по существу мы имеем дело с методом Фурье в случае непрерывного спектра. Точную и удобную формулировку понятия ортогональности собственных функций непрерывного спектра позволяет дать теория обобщенных функций.