Читать онлайн «Математический анализ. Второй специальный курс»

Г. Е. Элементарная теория обобщенных функций . ... 9 § 1. Задача о расширении совокупности обычных функций 9 § 2. Основные функции одного переменного . . 12 § 3. Обобщенные функции одного переменного 15 1. Определение и примеры обобщенных функций A5). 2. Обыч- Обычные функции, как обобщенные A7). 3. Дальнейшие примеры сингулярных обобщенных функций A8). 4. Обобщенные функ- функции в комплексном пространстве B0). Задачи B1). § 4. Действия с обобщенными функциями одного переменного . . 23 1. Сложение и умножение на число и функцию B3). 2. Диф- Дифференцирование B3). 3. Примеры B4). Задачи B7). § 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения 28 1. Уравнение у' = 0 B8). 2. Система у' = Ау C0). 3. Суще- Существование первообразной C1). 4. Система у' — Ay — f C2). 5. Решения, равные нулю на полуоси C3). 6. Граничная за- задача C4). 7. Фундаментальная функция дифференциального оператора C6). Задачи C7). § 6. Основные и обобщенные функции нескольких переменных . . 38 1. Определения C8). 2. Примеры D0). 3. Обобщенные функ- функции в области D1). Задачи D2). § 7. Действия с обобщенными функциями нескольких переменных 43 1. Определения D3). 2. Примеры D3): /. Независимость высших производных от порядка дифференцирования D3). 2. Производные по С. Л. Соболеву D4). 3. Производные функ- функции 9 (х, хп) D4). 4. Дифференцирование обобщенной функции / ((ю, х)) D4). 5. Функционал порядка сингуляр- сингулярJ D6). 6. П й ф фуци / ((, х)) D4) 5 Функционал орда сингуляр ности D6). 6. Производные кусочно-непрерывной функ- функции D6). 7. Истолкование формулы Грина D7). 8. Оператор Лапласа и сферически симметричные функции D7). 9. Фунда- Фундаментальная функция оператора Дт D9). 3. Однозначность восстановления обобщенной функции по ее первым производ- производным E1). 4. Обобщенная функция с непрерывными первыми производными E3). Задачи E6). I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава II. Специальные вопросы теории обобщенных функций . . 59 § 8. Локальные свойства и носитель обобщенной функции ... . 59 1. Обобщенная функция, равная нулю в области E9). 2. Со- Сохранение локальных свойств при дифференцировании F1). 3. Основная функция, равная 1 на заданном множестве и О вне его окрестности F2). 4. Разложение единицы F3). 5. Разложение основной функции F4). 6. Локальное равен- равенство нулю обобщенной функции F4). Задачи F5). § 9. Предельный переход в пространстве обобщенных функций . . 66 1. Определение и простейшие свойства F6). 2. Дельта-об- Дельта-образные последовательности F8). 3. Теорема о полноте про- пространства К! F9). 4. Обобщенные функции, непрерывно зави- зависящие от параметра G2). 5. Дифференцируемые функции параметра G4). 6.