Читать онлайн «Развитие комбинаторной теории групп»

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Выход в свет английского издания настоящей книги приуро- приурочен к столетию возникновения комбинаторной теории групп. На- Начало этой теории обычно связывается с работой В. Дика 1882 г. , в которой впервые были введены понятия порождающих и опре- определяющих соотношений. Книга написана одним из создателей комбинаторной теории групп, известным американским алгебра- алгебраистом Вильгельмом Магнусом и его учеником Брюсом Чандле- ром. Комбинаторная теория групп долгое время развивалась под влиянием геометрии, топологии, ряда классических разделов алгебры и дифференциальных уравнений. Как самостоятельная наука со своей проблематикой она оформилась по существу толь- только после того, как в 1911 г. М. Дэн сформулировал основные алгоритмические проблемы теории групп: проблему распознава- распознавания равенства, известную в литературе также под названием «проблема тождества» (от Identitaetsproblem у самого Дэна), проблему сопряженности и проблему изоморфизма. Принципи- Принципиальное решение этих проблем было получено впоследствии благодаря проникновению в теорию групп идей и методов математической логики. Глубокая связь комбинаторной теории групп с математической логикой обусловлена тем, что задание групп (и вообще алгебраических систем) с помощью опреде- определяющих соотношений есть не что иное, как аксиоматическое описание этих систем посредством исчислений специального вида, родственных логическим исчислениям. Полученное еще в 1931 г. учеником Дэна В. Магнусом по- положительное решение проблемы распознавания равенства для групп с одним определяющим соотношением оставалось наибо- наиболее существенным продвижением в исследовании этой проблемы вплоть до 50-х годов, когда П. С. Новиков впервые построил примеры конечно определенных групп с неразрешимой пробле- проблемой распознавания равенства. В. Магнусу принадлежит также существенный вклад в исследование другой важной проблемы теории групп — проблемы Бернсайда о периодических группах, поставленной в 1902 г. Намеченный Магнусом в его работах начиная с 1935 г. подход к исследованию проблемы Бернсайда 6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА привел к формулировке новой проблемы, которая в нашей литературе известна под не очень удачным названием «ослаб- «ослабленной» проблемы Бернсайда '). Подход Магнуса лежит в основе доказательства полученных в дальнейшем результатов по этой проблеме. Книга представляет большой интерес для читателей не толь- только потому, что Вильгельм Магнус внес выдающийся вклад в развитие комбинаторной теории групп. Без преувеличения можно сказать, что он был свидетелем почти всех крупных со- событий в истории комбинаторной теории групп в 20-м веке. Очень важным достоинством книги является то, что авторы не ограничиваются формулировкой тех или иных важных ре- результатов в рассматриваемой области, а стараются также про- проследить историю возникновения и взаимного влияния фунда- фундаментальных идей и методов, которые в конечном счете и определяют развитие науки.