Читать онлайн «Введение в математику. Ч.1»

 ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ “Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто”. Р. Декарт1). Математические размышления § 1. ВВЕДЕНИЕ Приступая к систематическому изучению математики, обратим вни- мание на одну ее важную отличительную черту – использование доказа- тельств. В этом ее отличие, например, от физики, где физические зако- ны также могут выводиться из других физических законов, однако вся- кий такой закон верен постольку, поскольку он согласуется с экспери- ментом. Математический же закон считается верным только в том слу- чае, когда он снабжен доказательством. Использование эксперимента при установлении математических истин также играет важную роль, но лишь на стадии поиска гипотез о существовании той или иной законо- мерности. Так, например, рассматривая квадратные трехчлены х2 + 3х – 4, х2 + 7х + 3, х2 – х –1, можно заметить, что для каждого из них сумма корней есть число, про- тивоположное коэффициенту при х, а произведение корней совпадает со свободным членом. Это наблюдение позволяет предположить, что, воз- можно, такое же утверждение верно и в общей ситуации. Однако с тем, что этим свойством обладает любой квадратный трехчлен со старшим коэффициентом, равным 1, математик согласится лишь после того, как ему будет предъявлено доказательство истинности этого утверждения (т. е. цепочка умозаключений, показывающая, что рассматриваемое свойство вытекает из некоторых фактов, которые считаются заведомо верными). Такой подход математика принципиальным образом отличает- ся от позиции физика: для последнего вышеупомянутое свойство квад- ратных трехчленов представлялось бы “физическим законом”, как только оно было бы проверено в “большом” числе случаев и при этом не был бы найден ни один контрпример. Другой пример такого же рода. Рассматривая треугольники и трапе- ции, можно заметить, что суммы их внутренних углов зависят лишь от 1) Рене Декарт (1596–1650) – французский философ, математик, физик и физиолог. 9 количества сторон (но не от формы и размеров), т. е. равны соответст- венно π и 2π, и могут быть представлены в виде π (3 – 2) и π (4 – 2). Воз- никающая при этом гипотеза о том, что сумма внутренних углов выпук- лого n-угольника равна π(n – 2), завершает наш эксперимент. Теперь эта гипотеза требует доказательства (вспомните его!). Математические законы (истины) бывают двух типов: аксиомы и теоремы (леммы, утверждения, следствия и т. п. ). Аксиомы (греч. ) – это основные, исходные положения теории, которые считаются самооче- видными, т. е. первоначально верными (верными по определению), и из которых все остальное содержание теории извлекается чисто логически- ми средствами.