Читать онлайн «Уравнения математической физики: Учебник для вузов»

УДК 517. 95 ББК 22. 311 В57 Владимиров B. C. , Жаринов В. В. Уравнения матема- математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд. , стереотип. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 5-9221-0310-5. Учебник — сокращенный и упрощенный вариант курса B. C. Владими- Владимирова «Уравнения математической физики» E-е изд. ; М. : Наука, 1985). Курс читался автором в течение многих лет A964—1986) студентам Московского физико-технического института. Основная особенность курса — широкое использование понятия обобщенного решения краевых задач классической математической физики, часто позволяющее придать строгий математи- математический смысл формальным вычислениям. Одна из глав книги посвящена теории обобщенных функций и действиям с ними. Для студентов высших учебных заведений с повышенной математичес- математической подготовкой. © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2003, 2004 © В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, ISBN 5-9221-0310-5 2000, 2003, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 10 Глава I ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ §1. 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов 13 1. Точечные множества в Rn A3). 2. Классы функций A5). 3. Пространство непрерывных функций С(Т) A7). 4. Интегра- Интегралы типа потенциала A8). 5. Пространство функций C2(G) B1). 6. Ортонормальные системы B3). 7. Полные ортонормальные системы B5). 8. Линейные операторы и функционалы B6). 9. Линейные уравнения B8). 10. Эрмитовы операторы C0). § 1. 2. Основные уравнения математической физики 32 1. Уравнение колебаний C2). 2. Уравнение диффузии C6). 3. Стационарное уравнение C8). 4. Уравнения газо-гидроди- намики D0). 5. Уравнение Максвелла D0). 6. Уравнение Шрё- дингера D2). § 1. 3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка 42 1. Классификация уравнений в точке D3). 2. Выражение опе- оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координа- координатах D5). 3. Характеристические поверхности (характеристи- (характеристики) D6). 4. Канонический вид уравнений с двумя независимы- независимыми переменными D7). 5. Пример. Уравнение Трикоми E3). § 1. 4. Постановка основных краевых задач для линейных дифферен- дифференциальных уравнений второго порядка 54 1. Классификация краевых задач E4). 2. Задача Коши E6). 3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа E7). 4. Смешанная задача E8). 5. Другие краевые задачи E9). Оглавление 6. Корректность постановок задач математической физи- физики F1). 7. Теорема Коши-Ковалевской F2). 8. Пример Ада- мара F3). 9. Классические и обобщенные решения F4). Глава II ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ J2. 1. Основные и обобщенные функции 65 1. Введение F5). 2. Пространство основных функций V F7). 3. Пространство обобщенных функций ТУ G0). 4. Носитель обобщенной функции G2). 5. Регулярные обобщенные функ- функции G4). 6. Сингулярные обобщенные функции G5). 7. Фор- Формулы Сохоцкого G7). 8. Линейная замена переменных в об- обобщенных функциях G8). 9. Умножение обобщенных функ- функций G9). 10. Упражнения (81). §2. 2. Дифференцирование обобщенных функций 81 1.