Читать онлайн «Сборник задач по алгебре»

Сборник задач по алгебре Под редакцией А. И. Кострикина Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 512 (075. 8) ББК 22. 143 С23 Авторский коллектив: И. В. Аржанцев, В. А. Артамонов, Ю. А. Бахтурин, Э. Б. Винберг, Е. С. Голод, А. Э. Гутерман, А. И. Зобнин, В. А. Псковских, А. И. Кострикин, В. Н. Латышев, А. В. Михалев, А. П. Мишина, А. Ю. Ольшанский, А. А. Панчишкин, И. В. Проскуряков, А. Н. Рудаков, Л. А. Скорняков, А. Л. Шмелькин Сборник задач по алгебре / И. В. Аржанцев и др. Под ред. С23 А. И. Кострикина: Учеб. пособ. для вузов. -—Новое издание, исправленное. —М. : МЦНМО, 2009. —408 с. ISBN 978-5-94057-413-2 Задачник составлен применительно к учебнику А. И. Кострикина «Введение в алгебру» (Т. 1. «Основы алгебры». Т. 2. «Линейная алгебра». Т. 3. «Основные структуры алгебры»). Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: «Высшая алгебра» и «Линейная алгебра и геометрия», а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы. Для студентов первых двух курсов математических факультетов университетов и педагогических институтов. Библиогр. 19 назв. Предыдущее издание вышло в 2007 году в издательстве Физматлит. ББК 22. 143 © Коллектив авторов, 2009. ISBN 978-5-94057-413-2 © МЦНМО, 2009. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Глава 1. Множества и отображения §1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов 11 § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты 12 § 3. Перестановки 14 §4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 17 §5. Суммирование 20 Глава 2. Арифметические пространства и линейные уравнения §6. Арифметические пространства 21 § 7. Ранг матрицы 24 § 8. Системы линейных уравнений 28 Глава 3. Определители § 9. Определители второго и третьего порядков 35 § 10. Выражение определителя. Индуктивное определение . 35 §11. Основные свойства определителя 37 § 12. Разложение определителя по строке и столбцу 39 § 13. Определители и элементарные преобразования 40 § 14. Вычисление определителей специального вида 43 § 15. Определитель произведения матриц 44 § 16. Дополнительные задачи 45 4 Оглавление Глава 4. Матрицы § 17. Действия над матрицами 50 § 18. Матричные уравнения. Обратная матрица 54 § 19. Матрицы специального вида 57 Глава 5. Комплексные числа § 20. Комплексные числа в алгебраической форме 61 §21. Комплексные числа в тригонометрической форме ... 62 § 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга 64 § 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 67 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости . 69 Глава 6. Многочлены § 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 73 § 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики 74 § 27. Разложение на неприводимые множители над R и С . 76 § 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 77 § 29. Рациональные дроби 80 § 30. Интерполяция 81 §31. Симметрические многочлены и формулы Виета ... . 83 §32. Результант и дискриминант 88 § 33. Распределение корней 89 ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава 7. Векторные пространства § 34.