Читать онлайн «Н-угольники»

°Р БАХМАН Э. ШМЦЦТ п -угольники й-ЕСКЕ von FRIEDRICH BACHMANN Dr. Phil. , O. Professor an der UniversltS Kiel und ECKART SCHMIDT Studienassessor, Kiel 6IBLIOGRAPHISCHES INSTITUt MANNHEiM/WIEN/Zt)R Hochschu 1 taschenbucher-Verl ag 1970 «СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА» Популярная серия Ф. БЛХМАН, Э. ШМИДТ //-угольники Перевод с немецкого А. И. Сироты Под редакцией И. М. Яглома ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва J973 УДК 512:513. 19 В этой книге на вполне элементарном материале, начинающемся . с простейших геометрических истин (середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма и т. д. ), развита весьма изящная теория, устанавливающая зачастую совер- совершенно неожиданные связи между геометрией и важными концепция- концепциями и понятиями современной алгебры. Большое достоинство книги — сопровождающие изложение задачи, которые позволяют читателю все время контролировать степень овладения материалом. Книга рассчитана на любителей математики самых разных кате- категорий, начиная от старшеклассников, интересующихся этой наукой (например, учащихся школ с математической специализацией). Настоящая книга носит совсем другой характер. Она начинается с достаточно поверхностной (и широко известной) теоремы ¦ середины сторон любого четырехуголь- четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (У авторов вершины четырехугольника могут принадлежать любому — конечномерному или бесконечномерному—векторному про- пространству, построенному над почти любым полем; чита- читателю, однако, мы рекомендуем рассматривать построения авторов на обычной плоскости или в трехмерном прост- пространстве. ) С этого простого предложения начинает раскру- раскручиваться цепь теорем —и как далеко эта цепь ведет! Вна- Вначале каждому «-угольнику сопоставляются три других n-угольника: вершинами одного из них являются середины сторон исходного «-угольника (отображение0); вершинами второго—точки пересечения медиан (центры тяжести) треугольников, образованных тройками соседних вершин исходного «-угольника (отображение*); вершинами треть- третьего— четвертые вершины параллелограммов, построенных на трех соседних вершинах исходного «-угольника (ото- (отображение'). Эти «циклические операции» отображают мно- множество всех «-угольников в себя, но, вообще говоря, не на себя: «полное» множество всех м-уголышков они могут х) Ф. Бахман, Построение геометрии на основе понятия симмет- симметрии, «Наука», М. , 1969. ОТ РЕДАКТОРА перевести в его подмножество, в определенный «цикличе- «циклический класс» «-угольников. Так, отображение0 переводит множество всех 4-уголь- ников в класс параллелограммов; три отображения °, • и ', взятые в любом порядке, «сжимают» множество всех 6-уголь- ников в класс шестикратных точек F-угольников Л^Л^Л^), как видно из следующей «коммутативной диаграммы»: ашдзинно - правильные 6-угольника Далее понятия циклической операции (отображающей множество всех «-угольников в себя) и циклического класса «-угольников обобщаются; рассматриваются все- всевозможные циклические классы «-угольников — цепочка таких классов ведет от множества всех «-угольников к «нулевому классу», содержащему единственный (вырож- ОТ РЕДАКТОРА денный!) «-угольник, все вершины которого совпадают с началом координат.