Читать онлайн «Действительный анализ в задачах: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по группе ма. направлений и специальностей»

УДК 517. 5 ББК 22. 16 Д27 Действительный анализ в задачах / П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов, М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 416 с. - ISBN 5-9221-0595-7. Книга является учебным пособием по действительному анализу. Все основ- основные утверждения курса изложены в виде системы задач, снабженных полными решениями. Основное содержание книги составляет изложение теории меры и интеграла Лебега. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, в том числе для самостоятельного изучения курса действительного анализа, а также для преподавателей, ведущих по этому курсу семинарские занятия. Библиогр. 15 назв. Учебное издание УЛЬЯНОВ Петр Лаврентьевич БАХВАЛОВ Александр Николаевич ДЬЯЧЕНКО Михаил Иванович КАЗАРЯН Казарос Согомонович СИФУЭНТЕС Патрисио ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ Редактор Н. Б. Бартошевич-Жагелъ Оригинал-макет: В. В. Худяков Оформление переплета: А. Ю. Алехина ЛР №071930 от 06. 07. 99. Подписано в печать 05. 05. 05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 26. Уч. -изд. л. 28,6. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15 ISBN 5-9221-0595-7 9 785922405958 ISBN 5-9221-0595-7 © ФИЗМАТЛИТ, 2005 © П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов, М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес, 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Глава 1. Операции над множествами 7 Глава 2. Мощности множеств 13 Глава 3. Множества в IRn и других метрических пространствах. ... 30 Глава 4. Непрерывные функции на метрических пространствах ... . 68 Глава 5. Системы множеств 85 Глава 6. Меры на системах множеств 97 Глава 7. Продолжение меры 113 Глава 8. Измеримые функции 160 Глава 9. Сходимость по мере и почти всюду 180 Глава 10. Интеграл Лебега 200 Глава 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана 241 Глава 12. Теорема Фубини 261 Глава 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения интеграла Лебега 272 Глава 14. Функции ограниченной вариации 315 Глава 15. Абсолютно непрерывные функции 347 Глава 16. Интеграл Римана-Стилтьеса 384 Список литературы 414 Предметный указатель 415 Предисловие Если в классическом анализе изучались, в основном, функции, имеющие определённую степень гладкости, то со второй половины XIX века возникли новые постановки задач, которые требовали совер- совершенно других способов решения. В это время создавалась теория мно- множеств, на базе которой в начале XX века была построена теория меры и найдено чрезвычайно плодотворное определение интеграла Лебега. Родоначальниками этого направления были французские математики Борель, Лебег, Бэр. Такое развитие событий привело к необходи- необходимости по-новому решать различные задачи, связанные с проблемами представления и приближения функций, с понятиями первообразной и интеграла, с вопросами интегрирования и дифференцирования рядов, изучением свойств функций, полученных в результате предельного перехода и др.