Читать онлайн «Дифференциальные уравнения: учебное пособие»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. А. Пушкарь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МГИУ Москва 2007 ББК 22. 161. 6 УДК 517. 9 П91 Рецензенты: В. Б. Миносцев, заслуженный работник ВШ РФ, доктор физико- математических наук, профессор Московского государственного индуст- риального университета; Д. Л. Ревизников, доктор физико-математических наук, профессор Мо- сковского авиационного института (Технический Университет). Пушкарь Е. А. П91 Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М. : МГИУ, 2007. – 254 с. ISBN 978-5-2760-1098-4 Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений направления «Прикладная математика и информатика» (010500) и специальности «Математическое обеспечение и админист- рирование информационных систем» (010503) и соответствует про- грамме дисциплины «Дифференциальные уравнения» ББК 22. 161. 6 УДК 517. 9 Автор благодарит А. Герасева, Ю. Косарева, Е. Смирнова и Д. О. Платонова за оказанную помощь при создании компьютерного набора книги. © Е. А. Пушкарь, 2007 ISBN 978-5-2760-1098-4 © МГИУ, 2007 1 Введение 3 Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Введение Дифференциальные уравнения были введены в научную практику Ньютоном (1642 – 1727). Ньютон считал это свое открытие настолько важным, что зашифровал его, как было принято в ту эпоху, в виде анаграммы, смысл которой в со- временных терминах можно передать так: “Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями”. Вторым своим основным аналитическим достижением Нью- тон считал разложение всевозможных функций в степенные ря- ды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковой степени). Ньютон разложил в “ряды Тейлора” все основные элементарные функции (раци- ональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и лога- рифм). Из огромного числа работ XVIII века по дифференциаль- ным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707 – 1783) и Лагранжа (1736 – 1813). В этих работах была прежде всего раз- вита теория малых колебаний, а следовательно – теория линей- ных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и век- торы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, так как именно из такого уравнения определяются секулярные (вековые, т. е. медленные по сравне- нию с годовым движением) возмущения планетных орбит со- гласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас (1749 – 1827) и Лагранж, а позже Гаусс (1777 – 1855) 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения также развивают методы теории возмущений.