Читать онлайн «Геометрия треугольника в задачах»

мимисткрство народного овраэо ания МММ ШКОЛ л **«•*-•»-# СЕ» А» » « дии С. Н. M3R Т А MOCK |Qfc МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ШКОЛ Куланик Е. Д. , Федин С. Н. ГРШЕТГЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗАДАЧАХ ЖСПЕРИМЫГГАЛЬНОЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ИП-Х КЛАССОВ ШКОЛ (КЛАССОВ) ФИЯКО^ЛАТЕМАТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ МОСКВА 1990 Рецензент Крысин А. Я. Куланин Е. Д. , Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах. Экспериментальное учебное пособие для УШ-IX классов школ (классов) физико-математического направления. Научно-исследовательский институт школ, 1990 год. Предисловие Данный сборник задач предназначается учителям и учащимоя школ (класоов) физико-математического направления. В нем предотавлены задачи по курсу планшетрки УШ-ЕС класоов. относящиеся к геомет- риа треугольника. В оборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при атом предпочте- предпочтение отдавалооь теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При состав- составлении оборника попользовались журналы "Квант" и "Математика в шко- шкоде" за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в описке литературы в конца сборника,часть задач составлена автора- авторами. При ссылках на задачи оборника цринята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая - номер задачи в 'ВТом параграфа (например, 4. II - задача II § 4). Если ссплка дается на задачу втого же параграфа , то его номер опускается. Не- Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различ- различные решения. § " Равнобедренный треугольник 1. Докажите, что если а) две высоты б) две медианы треугольника равны, то втот треугольник равнобедренный. 2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике ABC сумма расотоя- ний от произвольной точки j)f лежащей на основании АС, до двух боковых сторон поотоянна и равна высоте, проведенной к бо- боковой стороне. 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании, делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобед- равнобедренным. 4. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и дан- данным i[лом при вершине максимальную площадь имеет равнобедрен- равнобедренный треугольник. 5. Положительные числа а, в, с таковы, что для каждого натураль- натурального fa существует треугольник со сторонами а, в, с . Докажите, что вое эти треугольники - равнобедренные. 6. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника ЛВС взяты точки М и Л' так, что BM=C/V . Докажите, что середина отрезка М// лежит на средней линии треугольника ABC, параллельной его оонованию. 7. В равнобедренном треугольнике основание равно а, боковая сто- сторона в. Найдите: Л а) медиану, проведенную к боковой стороне б) биссектрису, проведенную к боковой стороне в) высоту, опущенную на боковдасторону треугольника. 8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если основание от- относится к биссектрисе угла при основании как 5:6. 5 9.