Читать онлайн «Введение в неевклидову геометрию Римана»

Проф. С. А. БОГОМОЛОВ ВВЕДЕНИЕ В НЕЕВКЛИДОВУ ГЕОМЕТРИЮ РИМАНА ОНТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАД - 1934 — МОСКВА ПРЕДИСЛОВИЕ. Название „неевклидова геометрия" широкие круги чи- читателей обычно связывают с именем Лобачевского; настоящая же работа посвящена другой неевклидовой геометрии, носящей имя немецкого математика Р и м а н а (точнее говоря, здесь главным образом будет итти речь об эллиптической форме ее). К обоснованию геометрии можно подходить различ- различными путями: чисто аналитически, или при помощи пред- предварительного обоснования проективной геометрии, или, наконец, тем самым элементарно-синтетическим путем, которым шли Евклид и Лобачевский (но не Ри- ман). Автор имел случай в другом месте*) сравнить указанные три направления и пришел там к выводу, что элементарно-синтетический путь является основным и наиболее естественным. Геометрия Р и м а н а особенно бедна исследованиями в этом направлении; автор старался по мере сил воспол- восполнить указанный пробел в своем „Опыте элементарного обоснования геометрии Рим а на". **) Настоящая книга является сокращенным изложением названной работы; *) Богомолов. Различные пути для обоснования геометрии. (Изв, Электротехн. инст. , 1914, вып. X), **) Рукопись была на рассмотрении Математической комиссии Ленинградского университета и удостоилась одобрения; обе работы получили премии Наркомпроса. Предисловие мы имеем в виду ознакомить читателя со всеми особен- особенностями эллиптической геометрии, и, путем вывода три- тригонометрических формул и начал аналитической гео- геометрии, открыть ему широкую дверь для более глубокого знакомства с геометрией Рима на. Развитие неевклидовой геометрии способствовало более глубокому познанию действительности; достаточно вспо- вспомнить, что принцип относительности имеет своей осно- основой общую геометрию Р и м а н а. Неевклидовы геометрии в узком смысле этого слова (геометрии Лобачевского и Рим а на) являются первым шагом на пути этих об- обобщений. При доказательстве теорем геометрии мы опираемся на аксиомы; последние имеют двойственную природу: с одной стороны, они являются заключением геометричес- геометрического исследования, а с другой — его началом. Действи- Действительно, только после 2000-летнего развития геометрии, в результате логической переработки исторически на- накопленных знаний, мы пришли к сколько-нибудь вы- выработанной системе аксиом; особенно нелегким был этот вопрос для геометрии Рима на. Но для того, чтобы на- начать построение геометрии, надо указать тот фундамент, на котором мы будем строить, так что во главе приходит- приходится ставить аксиомы, выработанные предшествующим развитием науки. В дальнейшем само это построение может способствовать более правильному и более глубо- глубокому решению вопроса об аксиомах. При изложении гео- геометрии Римана, имеющей весьма существенные отли- отличия от некоторых казалось бы незыблемых положений евклидовой геометрии, особенно важно было решить во- вопрос об аксиомах, являющихся опорой для исследователя По той же причине автор избрал аксиоматический метод построения, как могущий предохранить от ошибок в не- неизведанной области.