Читать онлайн «Вариационное исчисление»

И. М. ГЕЛЬФАНД и С. В. ФОМИН ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Допущено Министерством высшего а среднего специального образования РСФСР в нанесшее учебника для университетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961 Израиль Моисеевич Гельфанд и Сергей Васильевич Фамші Вариационное исчисление Редактор С. М* Пѵлоеинкин Тени, редактор N. Л. Тумаркііча Корректор И. В. Цаетиола Ciutia в набор '25/1V 1961 г. Подписано к печати 3/ѴІИ 1961 г- Бумага 6Qx90flo\ Фиэ. печ, я, 24,35* Условн, печ, л, 14,25, Уч,- иэд, д. 12,44, Тираж 25 ОТО эчэ. T-QB72S. Заказ Н 24S6. Цена книги 47 кол. Государственное издательство фидиио-натематнчмкои литературы. Москва. В-71» Ленинский проспект. 15. Типография Кг 2 км. Еві\ Соколовой УПП Лендоьиардоэа. Ленинград, Нэшвдовскнй пр. . 29, ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие 5 Глава і. Функционалы. Простейшая задача вариационного исчисления 7 § 1. Введение 7 "§ 2. Функциональные пространства 10 § 3. Дифференциал функционала. Необходимое условие экстремума 14 § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 20 § 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами 28 § 6. Вариационная производная. Инвариантность уравнения Эйлера 33 Глава II. Некоторые обобщения простейшей задачи. Условный экстремум 39 § 7. Задача с закрепленными концами в случае п неизвестных функций 39 § 8. Вариационные задачи в параметрической форме 43 § 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 46 § 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум 4S Глава III. Основная формула для вариации функционала. Задача с подвижными концами 56 § И. Основная формула для вариации функционала 56 § 12. Задача с подвижными концами 61 § 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана 63 Глава IV. Канонический вид уравнений Эйлера. Вариационные принципы. Законы сохранения. Уравнение Гамильтона— Якоби 66 6 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы ... 66 § 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования . . 71 ь % 16. Связь между инвариантностью интеграла I Fdx н первыми а интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер) 79 § 17. Принцип наименьшего действия 84 § 18. Законы сохранения 85 § 19. Уравнение Гамильтона — Якобн. Теорема Якоби 89 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума 95 § 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала 95 § 21. Формула для второй вариации. Условие Ликандра 98 § 22. Исследование квадратичного функционала 103 §23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби 110 § 24. Достаточные условия слабого экстремума 115 | 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций 117 § 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве 124 Глава VI. Теории поля. Достаточные условия сильного экстремума 129 § 27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля 129 § 28. Поле функционала 135 § 29. Инвариантный интеграл Гильберта 144 § 30. Функция Бейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума 146 Глава VII.