Читать онлайн «Курс функционального анализа»

В. М. ФЕДОРОВ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА УЧЕБНИК Санкт-Петербург • Москва • Краснодар 2005 ББК 22. 162 ФЗЗ Федоров В. М. Ф 33 Курс функционального анализа: Учебник. — СПб. : Издательство «Лань», 2005. — 352 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 5-8114-0589-8 Книга «Курс функционального анализа» написана как учебник для студентов математических специальностей. В ней содержится изложение курса функционального анализа, читаемого в пятом и шестом семестрах на отделении механики механико-математического факультета МГУ. Вопросы теории функций, теории приближений, теории обобщенных функций, преобразований Фурье и спектральной теории операторов освещаются в ней с единой точки зрения — теории линейных пространств. Следует отметить, что общая точка зрения функционального анализа, развиваемая в этом курсе, не является целью сама по себе, а только средством для изучения современных областей математического анализа. Например, многие трудные топологические вопросы функционального анализа излагаются на основе пространств сходимости, что позволяет быстрее и проще войти в курс теории обобщенных функций. В пределах каждой излагаемой темы мы вынуждены быть максимально краткими, и ограничиваться лишь выяснением наиболее важных вопросов, вполне осознавая, что читатель, быть может, в некоторых случаях, останется неудовлетворенным. Поэтому ряд интересных тем и лежащие в стороне вопросы были вынесены в упражнения и задачи. Последняя глава книги содержит список упражнений и задач. Большинство из них не требуют особой сообразительности, а предназначаются для более глубокого усвоения материала. От студентов требуется владение некоторыми вопросами математического анализа, например, в объеме стандартных первых четырех семестров. При этом условии книгой можно пользоваться и для самостоятельного изучения предмета. ББК 22. 162 Рецензенты: Доктор физ. -мат. наук, профессор Б. И. ГОЛУБОВ; Доктор физ. -мат. наук, профессор Т. 77. ЛУКАШЕНКО Оформление обложки С. ШАПИРО, А. ЛАПШИН Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. > Издательство «Лань», 2005 ) В. М. Федоров, 2005 ) Издательство «Лань», художественное оформление, 2005 Оглавление Предисловие 6 Глава 1. Измеримые множества 7 § l. Mepa на полукольце множеств 7 § 2. Продолжение меры на кольцо 13 § 3. Мера Стилтьеса на прямой 15 § 4. Теорема Каратеодори о внешней мере 18 § 5. Продолжение меры по Лебегу 21 § 6. Продолжение меры по Жордану 27 § 7. Измеримые функции и их свойства 30 § 8. Сходимость почти всюду 34 § 9. Теоремы Егорова и Лузина 36 Глава 2. Интеграл Лебега 40 § 1. Интеграл по конечно-аддитивной мере 40 § 2. Интеграл по счетно-аддитивной мере 46 § 3. Счетная аддитивность интеграла 50 § 4. Абсолютная непрерывность интеграла 52 § 5. Теорема о монотонной сходимости 55 § 6. Предельный переход под интегралом 57 § 7.