Читать онлайн «Битопологические пространства. Исследования по топологии, 9»

БИТОПО ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТОПОЛОГИИ. 9 ВВЕДЕНИЕ 1. Один поучительный пример. Прежде, чем приступить к самой теории битопологических пространств, хотелось бы пояснить что, собственно говоря, представляет из себя эта теория и каковы возможности ее применения. Нам кажется полезным привести для этого следующий простой пример. Пример. Пусть X = {х|0 < х ^ 1}, Ti,T2 - топологические структуры на X, определяемые следующим образом: т\ — обычная топологическая структура полуинтервала (0,1], Г2 - обычная топологическая структура окружности, полученной отождествлением концов отрезка [0,1]. Топологические пространства (X, т{) и (X, тг) не обладают свойством неподвижной точки, то есть для каждого из этих пространств в отдельности (полуинтервала и окружности) существует какое-то его непрерывное отображение / : X —► X в себя, не имеющее неподвижной точки, то есть точки х € X, для которой /(х) = х. Если, однако, мы рассмотрим любое отображение / : X —► X непрерывное относительно обеих топологических структур т\ и Г2 одновременно, то такое отображение будет иметь неподвижную точку. Действительно, пусть /(1) ф 1, докажем, что в этом случае /-образ множества X является его собственным подмножеством, а именно, что ему не принадлежат точки достаточно близкие к точке 0. Допустим, что это не так и существует в X последовательность (х„), для которой f(xn) сходится к 0 относительно обычной топологии числовой прямой. Без нарушения общности, переходя в случае необходимости к подпоследовательности, можно считать, что (хп) —► х в {X, т^) для некоторой точки х G X и поэтому /(х) = 1. Но это невозможно, так как последовательность (f(xn)) не сходится в (X, т\) к точке 1. Итак мы доказали, что f(X) является собственным подмножеством окружности, и потому будет топологическим отрезком в (X, гг). Но тогда / непрерывно отображает этот отрезок в себя и потому имеет неподвижную точку. Таким образом одновременное рассмотрение двух топологических структур, заданных на одном и том же множестве, или, как говорят, рассмотрение битопологического пространства (X, Г1,гг) позволило получить существенно новый результат. Это битопологическое пространство обладает свойством неподвижной точки, в то время как топологические пространства (X, т\) и (X, т2) этим свойством не обладают. 2. Возникновение битопологической в смысле Келли теории. Теория битопологических пространств является сравнительно молодой областью топологии. Ее возникновение связывают обычно с появлением в 1963 году работы Келли. В этой основополагающей статье было четко сформулировано исходное понятие битопологического пространства, как множества с двумя произвольно фиксированными на нем топологическими структурами. Там же были приведены и некоторые результаты, в значительной мере определившие развитие теории битопологических пространств на многие годы вперед. Справедливости ради, следует отметить, что одновременное изучение двух топологических структур, определенных на одном и том же множестве, проводилось и в более ранних работах других авторов.