Читать онлайн «Динамический хаос: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по физ. специальностям»
Автор Кузнецов С.П.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 6
Лекция 1. Динамические системы и хаос. Историческое введение 7
1. 1. Механика 8
1. 2. Статистическая физика 9
1. 3. Теория колебаний, радиофизика и электроника 11
1. 4. Гидродинамика 13
1. 5. Дискретные отображения 15
1. 6. Математика 17
1. 7. Прикладной хаос 18
Лекция 2. Хаос в простых моделях динамических систем 21
2. 1. Одномерные отображения 25
2. 2. Двумерные отображения, сохраняющие площадь 32
2. 3. Странные хаотические аттракторы 37
Лекция 3. Система Лоренца 43
3. 1. Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое 44
3. 2. Конвекция в замкнутой петле и водяное колесо 49
3. 3. Уравнения динамики одномодового лазера 52
3. 4. Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью ... 54
Лекция 4. Динамика системы Лоренца 56
4. 1. Результаты численного решения уравнений Лоренца 56
4. 2. Аналитическое исследование уравнений Лоренца 59
4. 3. Бифуркации в модели Лоренца 63
Лекция 5. Хаос в реалистичных моделях физических систем: диффе-
дифференциальные уравнения и рекуррентные отображения ... 67
5. 1. Модели с дискретным временем 68
5. 2. Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения 76
5. 3. Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздей-
воздействием 79
5. 4. Автономные системы — электронные генераторы 84
Лекция 6. Сечение Пуанкаре, подкова Смейла,
теорема Шильникова 93
6. 1. Сечение Пуанкаре и отображение последования 94
6. 2. Подкова Смейла 97
6.
3. Теорема Шильникова о петле сепаратрисы седлофокуса 102
Лекция 7. Гомоклиническая структура 107
7. 1. Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и
их пересечение 107
4 Содержание
7. 2. Связь гомоЕлинической структуры и подковы Смейла 109
7. 3. Критерий Мельникова 111
Лекция 8. Функция распределения, инвариантная мера,
эргодичность и перемешивание 117
8. 1. Функция распределения и инвариантная мера 119
8. 2. Эргодичность и перемешивание 123
8. 3. Одномерные отображения: инвариантные распределения и урав-
уравнение Фробениуса-Перрона 128
8. 4. Системы с непрерывным временем, уравнение для функции рас-
распределения и портреты странных аттракторов 131
Лекция 9. Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские показатели 135
9. 1. Устойчивость по Лагранжу 136
9. 2. Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре 136
9. 3. Устойчивость по Ляпунову 138
Лекция 10. Ляпуновские показатели для отображений. Методы численной оценки ляпуновских показателей . . . 148
10. 1. Обобщение ляпуновских показателей на рекуррентные
отображения 148
10. 2. Примеры аналитического расчета ляпуновских показателей . . . 150
10. 3. Алгоритм вычисления старшего ляпуновского показателя ... . 153
10. 4. Ортогонализация Грама-Шмидта и вычисление спектра ляпунов-
ляпуновских показателей 155
10. 5. Примеры численного расчета ляпуновских показателей 157
10. 6. Зависимость ляпуновского показателя от параметров 160
10. 7. Двухпараметрический анализ и карты ляпуновских показателей 161
Лекция 11. Геометрия странных аттракторов
и фрактальная размерность 164
11. 1. Фракталы 166
11. 2.
