Читать онлайн «Применение сплайнов в теории приближений»

Н. В. МЕДВЕДЕВ ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ЧЕБОКСАРЫ-1977 МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСЗСР ЧУВАШСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. Н. УЛЬЯНОВА Кафедра алгебры и вычислительной математики Н. В. й/ВДБЕДЕВ ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ Учебное пособие ЧЕБОКСАРЫ - 19 Л Печатается по решению Редакционко-издательского совета Чувашского'государственного университета им. И. Н. Ульянова Настоящий выпуск представляет собой учеС^е пособие по специальному курсу "Некоторые вопросы теории приближений^для студентов 4 курса физико-математического факультета Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова. В пособии рассматриваются некоторые вопросы кусочно-полиномиальных приближений / сплайнов /, когда исходная информация носит детерминированный или стохастический характер. Изучаются вопросы существования и единственности интерполяционных кубических и полиномиальных сплайнов и их основные свойства. Рассматриваются задача обобщенного интерполирования в детерминированной и стохастической постановках и аппрокси - мативные свойства решений этих задач. изучаются регуляриэо^анные стохастические сплайны, полу - ченные с помощью метода регуляризации А. Н. Тихонова, и устанавливается их связь с интерполяционными сплайнами. Нумерация формул в пределах каждого параграфа своя. Ссылка на формулу, например, (20. 0) означает, что двадцатая формула находится в водных замечаниях ; при ссылках на Формулу из того же параграфа указывается только ее номер. Редактор : канд. :!из. -мат. наук доцент Галаним Д-. В. С) Чувашский государственный университет, 1977 г. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ При изложении основного материала нам понадобятся следующие вспомогательные факты и утверждения из теории нормированных и гильбертовых пространств. Мы будем рассматривать банаховы пространства Lru Л1 pas непрерывно дифференцируемых функций, заданных на отрезке1о,в] действительной оси, норма в которых определяется соотношением: \\исхЦс^тах{^ир \исх)\ . . } sup \и(т{х)\\ , . Пространство Lz - гильбертово пространство суммируемых с квадратом функиий, заданных на отрезке £с/,6] , норма в котором определяется скалярным произведением: & Пространство \ч% - соболеЕСкое пространство - это множество г«сех функций и(. уС\й1лЬ » имеюших обобщенные производные до т-то порядка включительно, норма в котором определяется скалярным произведением: (utr)vt»> = (U,0 такое, что для любого элемента и 6 Cm-i . Доказательство. Пусть Lk - последовательность ГП, раз непрерывно дифференцируемых функций таких, что Цгуь iiui-unu^ frm. nuik)-u(k}hi=0 при ЫЩ, где Ц-U СЮ - некоторый адвент иа Vi"0 и и(К) ~ его обобщенная производная порядка к Имеем Отсюда следует Применив неравенство Коши-Буняковского, получим i-f» -5¾ i *£(l/^)«(!(ur&-«ZW<*J+ xVa. / <л""° Л»-1) ^ "Ч mi ч (5-а) л(llucfx)-6/c*pte)||LlL-%-|U:(«j-6/c>p^iJLjl ) , где p - произвольное натуральное число. Из последнего соотношения следует, что последовательность фундаментальна в банаховом пространстве С и, следовательно, существует элемент Uht-xM 6 С такой, что l\UiM-fm-i(*)ic"*0 при l-*oo .