Читать онлайн «Интегральные уравнения и вариационное исчисление: общий курс»

Профессор А. Г. Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (общий курс) Данный курс читается на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова в 4-ом семестре и сопровождается семинарскими занятиями. По окончании курса студенты сдают экзамен. Студенты физического факультета МГУ Н. Богданкевич, Н. Грачев, Е. Скрипка, А. Цуканов, С. Шарапова оказали мне большую помощь при подготовке электронной версии лекций. Пользуюсь случаем, чтобы выразить им мою самую искреннюю признательность. Литература Основная: 1. Васильева А. Б. , Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. – М. : Физматлит, 2002. 2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. – М. : УРСС, 2000. 3. Васильева А. Б. , Медведев Г. Н. , Тихонов Н. А. , Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление. – М. : Физматлит, 2003. Дополнительная: 1. Владимиров В. С. , Вашарин А. А. Сборник задач по уравнениям математической физике. – М. : Физматлит, 2001. 2. Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. – М. : Физматлит, 2001. Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. §1. Введение. Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла. Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные уравнения в такой общей постановке, а ограничимся изучением только одномерных линейных интегральных уравнений следующего вида: 1) Уравнение Фредгольма 2-го рода: b y ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ [a, b], a где K(x,s) – заданная непрерывная по совокупности аргументов функция, называемая ядром интегрального уравнения; f(x) – заданная непрерывная функция, называемая неоднородностью уравнения (если f ≡ 0 , то уравнение называется однородным); λ – вещественный параметр; y(x) – неизвестная 1 функция, которую мы будем считать непрерывной. Если это специально не оговаривается, все входящие в интегральные уравнения функции будем предполагать вещественными. Мы кратко также рассмотрим обобщение на многомерный случай (важное для курса методов математической физики, который будет читаться в следующем семестре). 2) Уравнение Фредгольма 1-го рода: b ∫ K ( x, s) y ( s)ds = f ( x), x, s ∈ [a, b], a где, как и выше, K(x,s) – ядро интегрального уравнения, заданная непрерывная по совокупности аргументов функция; f(x) – заданная непрерывная функция, называемая неоднородностью уравнения (если f ≡ 0 , то уравнение называется однородным); y(x) – неизвестная непрерывная функция. 3) Уравнение Вольтерра 2-го рода: x y ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ [a, b], a обозначения те же, что и для уравнения Фредгольма 2-го рода.