Читать онлайн «Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений»

АКАДЕМИЯ НАУК УССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С. Ф. ФЕЩЕНКО, Н. И. ШКИЛЬ, Л Д. НИКОЛЕНКО АСИМПТОТИ- АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕН- . ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ—1966 В книге излагаются асимптотические 517. 2 методы интегрирования линейных диф- Ф47 ференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами, встре- встречающихся во многих областях физики и техники. Книга рассчитана на широкий круг инженерно-технических и научных ра- работников, интересующихся вопросами приближенного интегрирования диффе- дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в частности уравнени- уравнениями, описывающими колебательные про- процессы. Ответственный редактор доктор физико-математических наук Ю. Л. Дале цкий 2—2—3 7-вв-злтл Введение . Решение многих задач физики и техники сводится, как известно, к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Так как лишь в исключительных случаях уда- удается получить точное решение такого уравнения, то приходится прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений,важное место занимают асимптотические методы, в ос- основе которых лежит идея разложения искомого решения в фор- формальный ряд по степеням некоторого малого параметра. И, хотя при этом степенные ряды являются, как правило, расходящимися, тем не менее приближенное решение — решение, получаемое пу- путем обрыва формальных рядов на каком-то m-ом члене, — оказы- оказывается весьма пригодным для целого ряда практических расчетов. Получаемое таким путем приближенное решение имеет асимптоти- асимптотический характер в том смысле, что оно стремится к соответствую-' щему точному решению не с увеличением числа /и, а при фиксиро- фиксированном т и при стремлении к нулю малого параметра. Так как асимптотические методы дают возможность получить аналитическое выражение приближенного решения, то последнее пригодно также и для исследования качественной картины пове- поведения решения на достаточно большом, хотя и конечном, интервале изменения независимой переменной (см. , например, работу [118]) В настоящей монографии излагаются асимптотические методы интегрирования определенного класса линейных дифференциаль- дифференциальных уравнений, а именно уравнений, в которых коэффициенты являются функциями медленного времени т = et, где в — малый положительный параметр, свидетельствующий о том, что коэффициен- коэффициенты уравнения меняются медленно, т. е. их производные по неза- независимой переменной t пропорциональны малому параметру 8. Дифференциальные уравнения с медленно меняющимися коэф- коэффициентами часто встречаются на практике. К ним приводятся, например, уравнения с малым параметром при старших произ- производных, исследованию которых посвящены работы А. Н. Тихонова [78—80], И. С. Градштейна [16—17], В. М. Волосова [13—14], А. Б. Васильевой [9—11], К. В. Задираки [26—28], М. И. Вишика, Л. А. Люстерника [12] и других.