Читать онлайн «Численные методы приближения функций»

В. И. Бердышев, Ю. Н. Субботин ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 40 коп. Свердловск Средне-Уральское книжное издательство 1979 СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ А Ц В — сумма двух множеств А и В; А с В — множество А содержится в множестве В; а~В — элемент а принадлежит множеству В; - а~В — для любого элемента а из множества В; Вт, i (х) = Вт(Х[, л';+1, ... . Xi+m+i\ х) — В — сплайн степени т дефекта 1 с узлами в точках Xk(k=i, i'+l, ... . i+m+l); С (Q)—пространство непрерывных на компактном множестве Q функций f с нормой || f(x) ||c =max { | f (x) \:xe Q); С [а, Ь]—-пространство непрерывных (Ь — а) — периодических функций /(. v)(—со <х< + оо) с нормой || f (х) ||с =гпах ' |f(. v)|:a< < д- < b!; Cr=Cr[a, b\ — пространство г раз (г—\, 2, . . . ) непрерывно диф- дифференцируемых на [а, Ь] функций; Сг = С[а, Ь]—-пространство r-раз (г=1, 2, . . . ) непрерывно диф- дифференцируемых (Ь—а) периодических функций; Л" Lip а—-класс непрерывных на [а, Ь\ функций, для которых \f(x) — f{y)\ °( —совокупность рацио- l / J ( n I m m \ lfc=0 / »"=0 j=0 J нальных дробей; Sm, k(x)=Sm, k(bn; x) — сплайны степени т дефекта k с узлами в точках сетки Дл; Sm(x) = Sm(An: x) = Smwl(&n; x); 3 +2 (dkcos,kx+bk sin kx)\ — совокупность тригонометри- ческих полиномов порядка п; Wrp — класс функции иа [а, Ь], для которых /(r—1>(^) абсолютно непрерывна [26, с. 323] и ||/(г)||р< 1; ¦Zm. k (Д«) — множество сплайнов степени т дефекта k с узлами в точках фиксированной сетки Д„. ВВЕДЕНИЕ Основным понятием излагаемой здесь теории является понятие функции. Пусть задано произвольное множество Q. Говорят, что на Q определена функция z=f(x), если указано правило, по которому любому элементу х из Q (кратко . V 6 Q) ставится в соответствие вещественное число f(x). В качестве Q здесь берется одно из множеств: [а, 6] = = {х:а < X < 6} — отрезок с концами а и Ь на числовой прямой, {x;}?Li — сетка (равномерная или неравномерная) из N узлов на числовой прямой, {а = (аь . v2):a < xr <6, с < х2 < d) — прямоугольник на плоскости, \{х\1), х[']):i — = 1, 2, ...

, N; /=1, 2, . . „ УИ) — прямоугольная сетка из N-M узлов на плоскости, \хг==[х\1\ а'2")Г^=1 — произволь- произвольная сетка на плоскости, \xi = (x{l), л'г0, -. . , х^))^ —сет- —сетка из 7V узлов в n-мерном (п > 2) пространстве. Важным является случай, когда Q — замкнутая область л-мерного пространства (т. е. замыкание открытого связного множе- множества). Функция z=f(x) может быть задана явным выраже- со С е—х1 нием, например, f(x) = tgx, f(x)=\ ~dt, диффе- J t*V /2—l l ренциальным уравнением F(г'', z, x)=0, г(. \'0) = г0, графи- графически или таблицей значений в узлах сетки. На практике часто возникают и изучаются функции, описывающие сложные реальные процессы (физические, химические и пр. ). Обычно эти функции не удобны для практических расчетов по той причине, что вычисление их значений требует больших затрат машинного времени или их запоминание требует больших объемов памяти ЭВМ. Иногда возникает необходимость определить функ- функцию / на всей области Q по сеточным значениям /(*j)(*j€Q, i=l, 2, ... , N), найденным приближенно с по- помощью эксперимента. Используя методы теории прибли- приближения функций, зачастую удается подобрать простые и удобные для расчетов функции, близкие к исходным. Для этого прежде всего следует выбрать класс К приближа- ющих функций (например, класс алгебраических или три- тригонометрических полиномов) и задать способ измерения расстояния приближаемой функции / от приближающей функции фбК (например, ||/— ||--=max |/(. v) —