Читать онлайн «Математические методы современной квантовой оптики»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. В. Горохов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СОВРЕМЕННОЙ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве электронного учебного пособия Самара Издательство «Самарский университет» 2014 УДК 530. 1:512. 54+535. 14 ББК 22. 31 Г70 Рецензенты: д-р физ. -мат. наук, проф. Е. К. Башкиров, д-р физ. -мат. наук, проф. В. Л. Дербов Горохов, А. В. Г70 Математические методы современной квантовой оптики : [Электронный ресурс] / А. В. Горохов. – Электронное учебное пособие. – Самара : Изд-во «Самарский университет», 2014. – 223 с. с экрана. Учебное пособие составлено в соответствии с программами курсов «Теория групп в квантовой физике», «Кооперативные и когерентные явления» и «Квантовая оптика и квантовая информатика», которые автор читает бакалаврам и магистрантам физического факультета СамГУ. Изложен математический аппарат принципов симметрии, когерентных состояний, интегралов по траекториям с применением к задачам квантовой оптики и исследованы методы нахождения решений квантовых кинетических уравнений. Предназначено бакалаврам и магистрантам физических специальностей университетов, но может быть также полезно аспирантам, научным работникам и преподавателям физических специальностей вузов. УДК 530. 1:512. 54+535. 14 ББК 22. 31 © Горохов А. В. , 2014 © Самарский государственный университет, 2014 © Оформление. Издательство «Самарский университет», 2014 Оглавление Введение 6 1 Принципы симметрии и динамика квантовых систем 10 1. 1 Модельные гамильтонианы и динамические группы . . . . . . . 10 1. 2 Когерентные состояния и группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Интегралы по траекториям в голоморфном представлении и квазиклассическая динамика 25 2. 1 Гауссовы пакеты и гамильтоновы интегралы по путям . . . . . . 27 2. 2 Символы операторов и интегралы по траекториям . . . . . . . . 29 2. 3 Квазиклассическое приближение и гамильтоновы уравнения в пространствах Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. 4 Нестандартные члены и проблема выхода за рамки квазиклас- сики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. 5 Фейнмановский пропагатор гармонического осциллятора . . . . 37 2. 6 Фейнмановский пропагатор частицы со спином j в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Когерентные состояния группы SU (N ) и N -уровневые атомы 44 3. 1 Многоуровневые атомы во внешнем однородном поле . . . . . . 44 3. 2 Динамика кубита и генерация атомных когерентных состояний 46 3. 3 Группа SU (3) и трехуровневые атомы во внешних полях . . . . 49 4 Геометрическая фаза в квантовой оптике 61 4. 1 Метод геометрической фазы в квантовой теории . . . . . . . . . 61 4. 2 Модель Джейнса - Каммингса и фаза Берри . . . . . . . . . . . 62 4. 3 Группа SU (2) и расчет фазы Берри для постоянного воздействия 65 4. 4 Геометрическая интерпретация фазы Берри . . . . . . . . . . . . 67 4. 5 Квазиклассический предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 Динамические супергруппы и суперкогерентные состояния в квантовой оптике и теории систем многих частиц 71 3  5. 1 Преобразование Хаббарда - Стратоновича и интегралы по тра- екториям для фермион - бозонных гамильтонианов . . . . . . . 71 5. 1. 1 Взаимодействующие бозоны и фермионы и преобразова- ния Хаббарда - Стратоновича . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5. 1. 2 Расчет интеграла по траекториям для статистической суммы многофермионной системы . . . . . . . . . . . . . 75 5. 2 Суперсимметричные модели Джейнса - Каммингса . . . . . . . 82 5. 2. 1 Супергруппа OSp(2|2) и модель Джейнса - Каммингса . 82 5. 2. 2 Континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы OSp(2|2) . . . . . . . . . . . . . . 86 5. 2. 3 Эволюция параметров когерентных состояний . . . . . . 89 5. 2. 4 Решение гамильтоновых уравнений для суперсимметрич- ных обобщений модели Джейнса - Каммингса . . . . . . 91 5. 2. 5 Вероятности перехода и статистическая сумма в супер- симметричной модели Джейнса - Каммингса . . . . . . . 95 6 Когерентная релаксация квантовых систем с конечным чис- лом уровней 99 6. 1 Квантовое кинетическое уравнение, релаксация и декогеренция 99 6. 2 Когерентная релаксация системы двухуровневых атомов и урав- нение Фоккера - Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6. 2. 1 Релаксация двухуровневого атома (j = 1/2) . . . . . . . . 108 6. 2. 2 Релаксация эквидистантной системы с j = 1 . . . . . . . 110 6. 3 Релаксация двухуровневой системы в "сжатом" термостате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6. 4 Релаксация системы трехуровневых атомов . . . . . . . . . . . . 117 6. 5 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для изолирован- ного атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6. 6 Одновременные и двухвременные корреляционные функции . . 124 7 Двухуровневая система во внешних стохастических полях 131 7. 1 Уравнение Фоккера-Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7. 2 Пропагатор уравнения Фоккера - Планка.