Читать онлайн «Задачи по геометрии. Дифференциальная геометрия и топология»

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ) ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1978 УДК 513 73+513. 83(076) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета Авторы пособия: С. П. НОВИКОВ, А. С. МИЩЕНКО, Ю. П. СОЛОВЬЕВ, А. Т. ФОМЕНКО Рецензенты: проф. М. М. Постников, проф. Е. Г. Скляренко ,20203—045 ^„ _„ > — -52 —77 (с) Издательство Московского университета, ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие содержит цикл задач по обязательному курсу «Дифференциальной геометрии и топологии» механико-математического факультета Московского университета. Сборник дополняет серию учебных пособий по данному курсу, изданных в период с 1972 по 1974 г. в трех частях, под общим названием «Дифференциальная геометрия» в Издательстве МГУ, авторы С. П. Новиков и А. Т. Фоменко [1—3]. Новый курс «Дифференциальная геометрия и топология», введенный в преподавание на механико-математическом факультете МГУ, принципиально отличается от курса со сходным названием «Дифференциальная геометрия», который существовал несколько лет назад, не только объемом материала, но и принципиальной новизной тематики. В связи с этим существовавшие до сих пор многочисленные сборники задач по дифференциальной геометрии уже не удовлетворяют изменившимся требованиям, предъявляемым к студентам. В частности, среди тем, впервые введенных в преподавание, содержатся следующие: риманова геометрия и топология многообразий, векторные поля и дифференциальные формы на многообразиях, непрерывные группы преобразований. Все это составляет содержание первой части сборника. Вторая часть состоит из более трудных задач, которые полезны для введения студентов в новые вопросы геометрии и топологии. Из научных тем, впервые представленных в учебной литературе такого рода, мы отметим общую теорию гомотопий и гомотопические группы, группы гомологии и когомологий, теорию расслоений, теорию гладких многообразий и вычислительные методы в топологии. К некоторым темам второй части предпосланы пояснительные параграфы, в которых собраны и разъяснены простейшие понятия, необходимые для понимания задач этого параграфа. К некоторым задачам приведены схемы решений или ответы. Трудные задачи из первой части отмечены «звездочкой». 3 Многие задачи сборника были неоднократно апробированы на практических занятиях по курсу «Дифференциальная геометрия и топология» (механико-математический факультет МГУ), а также на многочисленных специальных семинарах кафедры дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ. Авторы выражают» благодарность В. М. Бухштаберу, предоставившему большой цикл задач (и их решений) по теории бордизмов. Большая часть решений задач — работы студентов третьего курса кафедры дифференциальной геометрии А. П. Веселова, М. Н. Строевой, Т. А. Троценко, Н. В. Илюшечкина, С. С. Платонова, В. Л. Кобельского. Авторы выражают благодарность М. Ю. Константиновой за помош,ь в оформлении рукописи. Коллектив авторов Часть I § 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. 1.