Читать онлайн «Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка»

Современные проблемы МАТЕМАТИКИ Б. М. Левитан РАЗЛОЖЕНИЕ по СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Государственное издательство ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1950 В. М. ЛЕВИТАН РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 195 0 ЛЕНИНГРАД 11-5-4 Редактор Чудов Л. А. Техн. редактор Мурашова И. Я. Подписано к печати 9/Н 1950 г. 10 печ. л. 7,98 уч. -изд. л« 32 000 тип. зн. в печ. л. Тираж 3000 экз. Т-00227. Заказ № 5602- Цена 4 руб. 80 коп. переплет 50 коп. 4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Ленинград, Измайловский пр. , 29. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава I. Разложение в конечном интервале 9 § 1. Асимптотика для собственных значений и собственных функций 9 § 2. Нули собственных функций 20 § 3. Теорема о разложении по собственным функциям . 25 § 4. Уточнение теоремы разложения 35 Глава II. Равенство Парсеваля 40 § 1. Интервал (0, оо) 40 § 2. Интервал (— оо, ос) 48 Глава III. Спектр дифференциального оператора второго порядка 53 § 1. Случай q(x) aL(0, оо) 54 § 2. Преобразование основного уравнения 62 § 3. Случай q (х) -> — оо 66 § 4. Случай q(x)-*-\-oo 72 § 5. Дальнейшее изучение нулей собственных функций в случае 0(*)-> + оо 74 Глава IV. Примеры 79 § 1. Классический интеграл Фурье 79 § 2. Формулы обращения Ганкеля 79 § 3. Другие разложения, содержащие бесселевы функции. 82 § 4. Полиномы Эрмита 84 § 5. Атом водорода 84 Глава V. Уточнение теоремы разложения в случае q(x)aLn(0t оо) 89 § 1. Уточнение теоремы разложения для случая q (х) с Ln (0, оо), / (х) aLn (0, оо), {/'-?(*)/} С Z. 12(0, оо) 89 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Уточнение асимптотических формул для <» (х, А), !*(*). v(X) 93 § 3. Уточнение теоремы разложения 97 Глава VI. Резольвента . . . 103 § 1. Круг и точка Вейля : 103 § 2. Интегральное представление резольвенты 109 § 3. Ортогональность 116 § 4. Взаимная формула Парсеваля 129 § 5. Формула для р (К) 132 Глава VII. Интервал (— сю, оо) 137 § 1. Резольвента 137 § 2. Формулы для i (A), yj (X) и С (А) 144 Дополнение I. Теоремы Хелли 153 Дополнение II. Формула обращения Стильтьеса 157 ПРЕДИСЛОВИЕ Как известно, в классической математической физике большую роль играет разложение произвольных функций в ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. За исключением нескольких важных случаев (функции Бесселя, ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева-Эрмита, Лагерра и т. д. ) в классической математической физике обычно предполагаются конечность интервала и ограниченность коэффициентов уравнения. Обобщение теории на случай бесконечного интервала или особенностей в коэффициентах встречало значительные трудности и стало возможным лишь после создания спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Это обобщение с достаточной полнотой было дано Г. Вейлем *). После этого долгое время почти не появлялось новых работ по рассматриваемому вопросу. Объяснение этому следует, повидимому, искать в отсутствии в то время интересных приложений.